1樓：陸泓帛
黎曼函式的極限在任何實數上均存在，且為0。原因是對於任何和某個實數數足夠接近的有理數，其分母必須足夠大，那麼也就意味著其黎曼函式的值必須足夠小，進而導致黎曼函式的值在自變數趨於任何無理數值時必然趨於0，所以黎曼函式的極限在任意實數處存在；更進一步地，黎曼函式在任何無理數處均連續，因為對於任何離該無理數足夠近的無理數，黎曼函式的取值必然恒為零，而對於任何離該無理數足夠近的有理數，黎曼函式的取值必然也會任意接近0，進而利用函式極限的定義，我們就知道黎曼函式的值在自變數足夠接近任何無理數時必然也要十分接近於0，進而它在任意無理數處均連續（相仿地，可知它在任意有理數處不連續）。而對於狄利克雷函式而言，對於任何數a，你總能找到一列有理數和一列無理數，使它們都趨於a，但狄利克雷函式在這兩列自變數上的取值是不同的，一列是0，一列是1，進而狄利克雷函式的極限不存在。
對於你的第二個問題，無理數集直觀上更像是密集的散點，而非離散的線段，因為任何兩實數間必然存在有理數，所以無理數集不可能包含任何的線段
為什麼在黎曼函式上無理數點連續，而如狄利克雷函式上為間斷點，無理數到底連續嗎？
靈劍 你這個問法不對，不能說無理數是不是連續，連續是函式的屬性。f x 1也包含了所有的無理數，為什麼你就不覺得它有可能在無理數點上不連續呢？你無非覺得難以理解的是乙個函式怎麼會在所有的有理數點上都不連續，卻在所有的無理數點上都連續呢，有理數不是稠密的嗎？怎麼會周圍全是不連續的點，而這一點卻是連續的...
為什麼「存在」的否命題是「任意」，而不是「不存在」或者說是「沒有」？
城外遊民 個人看法未必準確哈。首先，在經典邏輯裡 存在 本身不是乙個命題，不是一階謂詞 弗雷格說是二階的 而是量詞。所以，你這裡問題的表述不準確。應該這樣問為什麼存在的否定是所有。其次，經典邏輯裡存在量詞準確是指至少乙個。如存在x，x是P，相當於至少有乙個x是P。很直觀 至少n個 的否定是 至多n ...
既然無理數點遠比有理數點多，為什麼狄利克雷函式處處不連續？
這不是什麼直觀，模擬錯用的問題，這就是個語言問題，總歸要用乙個名詞來縮寫連續的定義，無論是 continuous 還是 連續 都是些有數學外意義的詞 它的好朋友 可導 只在數學定義裡出現的詞就不會出現這種問題 這種混淆常見又麻煩，而不僅是在 連續 或是數學上的體現，要鍛鍊記憶和區分度 你要對乙個熟悉...