有理數是連續的嗎？

1樓：

反對樓上某位說提問者書讀太少，想的太多的結論。

學生如果遇到這樣的老師，孩子遇到這樣的家長都可以稱之為災難！

沒有人生下來就什麼都懂，只要問出為什麼...，至少說明對該問題有了思考，還是值得鼓勵的。我不相信這位回答者在求學經歷中沒問過問題。

進一步說，如果這位的孩子有一天問他，為什麼火箭能上天？太陽那麼熱？之類還沒學到的問題，不知他是否也是這種傲慢的秀優越。

專業人士看來很初級的問題，外行或者初學者短時間內理解不到位是很正常的。

早學了幾年就嘲笑後學者，即五十步笑百步才是最low的！

2樓：Ogre

有理數集不連續

3.1415926和3.1415927都是有理數，但是中間存在乙個π是無理數

同理，任意兩個有理數間必然存在乙個無理數

故，有理數集不連續

3樓：hhh

實數才是連續的，有理數只能說是稠密。有理數不能緊接，因為每兩個有理數之間都有無限個無理數，如果有理數能緊接，那麼就會有有理數是不可數集的矛盾，因為有理數是可數的，從而不是緊接的，不可能有乙個區間裡全部的實數都是有理數。實數才是，因為直線上每乙個點都對應實數。

有理數只能是分散的。在數軸上，每個有理數之間的空隙都非常的大，比有理數集本身還大，說是篩子也太誇大了有理數了。畢竟篩子的空洞還遠遠不像有理數這麼大。

對於有理數的測度應該就是這麼理解，在直線上畫點，每個點都隔三差二的排著，然後把這條直線縮小無窮倍至(0，1)的長度，於是差不多就相當於(0，1)中里的有理數的測度，而其他的地方都是無理數。看起來稠密跟完好無缺差不多，實際上是0測度，只佔了(0，1)的0%。

當然，每個實數中最緊接的那個數是不存在的，或者說它們都是不可定義數(每個能定義出來的數之間都塞滿了不可定義數)。我們沒法子把它說出來。當然，我們能夠用語言說出來的那些數跟有理數的測度也差不多，都是可數集，裡面的每個空洞的大小比本身還大的多。

而不可定義數(也就是不能用語言描述的數)全體是不可數集。

4樓：

修正題主說的一點，不論是有理數還是無理數，都沒有辦法定義「鄰接」。這個就是由有理數和無理數集在實數範疇下的稠密性來的。

直觀來理解稠密性就是，這個集合中任兩的元素之間都存在乙個元素還屬於這個集合。比如說任兩個有理數之間都可以找到第三個有理數（比如代數均值），而且任兩個無理數之間也能找到第三個無理數。

所以沒有辦法說「鄰接」，比如說比零大的第乙個有理數，這個是沒有辦法定義的。

另外給題主一些更加毀三觀的例子。比如說稠密集，聽起來應該是包含元素很多的。但如果考慮[0,1]上的有理數集和康托爾集，前者處處稠密但是勢為，後者並不稠密卻勢和實數相同，大於。