1樓：格羅卜學數學
先來說說有理數的稠密性吧.
[有理數的稠密性], 並且 , 那麼存在 , 使得 .
[證明]
再來說說無理數的稠密性.
[無理數的稠密性], 並且 , 那麼存在 , 使得 .
2樓：江東四傑
人話版:
已知Q是稠密的，故只需證明 : 對任意正有理數q, (0,q)之間存在一無理數。
顯然，因為 √2/n→0。
裝逼版:
根據貝爾綱定理(的推論)，完備度量空間上的第一綱集的補集都是稠密的。
Q是第一綱集，故R\Q稠密.
(p.s 為了避(cheng)免(gong)循(ba)環(bi)論(zhuang)證(wan), 這裡講一下如何不用稠密性證明Q是第一綱集: 若不然，則Q中必存在孤點開集，從而Q本身是開集，所以無理數是閉集。
但√2/n→0，矛盾.)
3樓：曼斯迪
呵呵呵呵，這麼漏的問題還要本尊出手。
類似「有理數是處處稠密的*數學家不是文學家，更不是物理學家，若這種也算數，那徹底把數學報廢掉。要直觀不能想象，用實證替代假設。
首先說明有理數在R上稠密。
法一：對於任給開區間（x- ,x+ ），總可找到大自然數N使得1/N小於2 （硬沒看到嚴格小於號），則根據抽屜原理，一定有乙個長著M/N樣子有理數落在上述開區間內，證畢。
法二：有理數除了表示成真分數，還可以寫成——咳咳，小數。
對於任給小開區間（x- ,x+ ），我們利用二進位制表達把左端點和中點寫成如下：
x-=a0.a1a2……anan+1…… , x=b0.b1b2……bnbn+1…… (ai&bi=0或1，i ,a0&b0是相同整數，若x不慎取到整數，則相應地考慮右端點情形）這種無限表達一定成立，對於有限小數用零來補足後續位即可。
因為 x- 小於x, 則一定從某位n開始,an小於bn, 說明an=0,bn=1,
1 從n+1位開始之後所有的數字都相等，則由二進位制表達的唯一性我們首先認為1的無限迴圈小數違規，它應視為前一位加1，從而說明著無窮多的後續位中一定有0，記為m位，則令
c=a0.a1a2……an……cm(=1)， 即僅將x-改變一位並截斷，這個構造保證
x-小於c小於x，c是有限小數即有理數；
2 從n+1位開時之後某位數字不等，記為m位
若am小於bm, 則說明am=0, bm=1, 則令
c=a0.a1a2……an……cm(=1）， 即僅將x-改變一位並截斷，這個構造保證 x-小於c小於x，c是有限小數即有理數；
若am大於bm, 則說明am=1,bm=0, 同樣由二進位制表示的唯一性從m+1位開始ai中必有數字0，記為第p位， 則令
c=a0.a1……an……cm(=1)……cp(=1),即即僅將x-改變一位並截斷，這個構造保證 x-小於c小於x，c是有限小數即有理數；
綜上得到索要結論。
無理數稠密性是平凡推論，因為域Q稠密，從而域Q+ 稠密，即無理數稠密，
法三：對於任意小開區間(a,b),若a、b中有乙個或兩個是無理數，則其中點或四分點c必有乙個是無理數；
否則對a、b屬於Q則考慮內點c= =3a-2b+ (b-a),說明內部定有無理數。 證畢
數學系大三學生應知無理數是比有理數多的多的一類集合，這在在數分開始學習稠密性時似乎就有體現。我留乙個簡單思考題，如何證明有理數稠密性和無理數稠密性互相蘊含，更直白說讓你證明無理數的稠密性包含有理數的稠密性？（借助法二思想）
數學很難，想通後並無；數學很易，沒通前倒也沒；
4樓：Zeta Eta
正常學數分的思路：
實數的完備性（連續性）公理（一般認為是戴德金基本定理，等價於這7個定理的迴圈證明：確界存在定理、單調有界定理、有限覆蓋定理、聚點定理、緻密性定理、閉區間套定理、柯西收斂準則，這幾個東西說了一堆車軲轆話形成乙個閉環←雖說他們叫定理，但其實你必須至少承認和信仰其中乙個（信柯西收斂準則或閉區間套定理的話，還得加上實數的阿基公尺德性）作為公理，也就是大前提，如果連這件事你都拒絕了，那咱就別玩了）
→實數的阿基公尺德性
→有理數集在實數集中稠密
→無理數集在實數集中稠密
（就樓上有人說的方案，用定義證明的話，就是兩個實數都加or減or乘or除乙個無理數，用有理數集在實數集中稠密，得到夾在其中的乙個有理數，三個數再統一逆運算減or加or除or乘回去那個無理數，得證←「無理數加or減or乘or除有理數 = 無理數」可以由數域的定義即域公理和無理數集有理數集交集為空來得到）
為什麼這個思路很重要呢？
說明證明這個命題只用阿基公尺德性就夠了，阿基公尺德性是蘊含於完備性裡的，但並不能反推完備性。
引自某度 實數公理：
這裡有乙個很微妙的問題，即與完備性公理等價的7個實數系的基本定理（確界存在定理、單調有界定理、有限覆蓋定理、聚點定理、緻密性定理、閉區間套定理和柯西收斂準則）中，並不是每乙個都能推出阿基公尺德公理的。具體來說，閉區間套定理和柯西收斂準則不能，其他5個基本定理則可以推出阿基公尺德公理。因此，以完備性公理作為實數公理之一時，阿基公尺德公理可以去掉；以5個可以推出阿基公尺德公理的基本定理替代完備性公理時，阿基公尺德公理也可以去掉；而以柯西收斂準則或閉區間套定理代替連續性公理時，必須補充阿基公尺德公理。
2. 反證思路：
實數的完備性公理（如：使用閉區間套定理）
→實數集不可列（證明實數集的上的任意區間不可列）
→無理數集在實數集中稠密（其實就是上述命題的否命題，反證嘛：否則存在乙個開區間，裡面全是有理數，而有理數集的子集一定是可列集，矛盾）
為什麼這個思路也很重要呢？
同上，說明證明這個命題只用閉區間套定理就夠了，前面也說了，閉區間套定理是蘊含於完備性裡的，但並不能單獨反推完備性（需要配合阿基公尺德性）。
3. 構造思路(我們可以繞過實數的完備性公理直接證明嗎？)
設 總是可以取到乙個
比如我取
而 要麼是無理數，要麼是有理數。（即無理數可表示為 ）（該命題乍一看是直接由定義得來的，上面兩個證明也都用到了，但它是否需要實數的完備性公理作為支撐來證明呢？）
是無理數，直接得證。
是有理數，不用慌
總是可以再取到乙個
比如我再取
是無理數，直接得證。
也是有理數，還不用慌
再取 （比如你可以取 ）
構造 （「無理數加or減or乘or除有理數 = 無理數」）
由實數的域公理和序公理，可得
命題得證。
這個稠密性如何證明？
大臉阿望 對 於是存在k使得 x eeimg 1 記 為最小的那個 這裡用到最小自然數原理 於是由於數列 的單調性和 的最小性.由 於是存在k使得 x eeimg 1 記 為最小的那個,則 並且由於 可知 重複上述做法我們可以得到整數列 且它們單調不減，由它的構造可得 n eeimg 1 恆成立，且...
如何證明e為無理數
Honest168 分享乙個我新學到的證法，雖然同樣是利用反證法，但和最高贊的方法有些許差別。利用反證法。若 為有理數，則可設 對於 有 設 為 的整數部分，則有 若 則 但 和 相衝突，故 為無理數，證畢。創造這個證明法的是讓 巴普蒂斯 約瑟夫 傅利葉，題主感興趣的話可以去查一下這個人的生平和該證...
既然有理數是稠密的，那麼為什麼存在無理數？
張若閒 簡單點，有理數不管再怎麼稠密，有理數都是明確的。0.1是有理數，0.1011是有理數，0.101101246499494946434616424513191還是有理數。有理數就是確定的數，不管多少位，他就是有限的。不管它多小，你願意分多少，總有乙個最終準確的數字。但無理數和有理數就不在乙個緯...