1樓：lwangls老王老師
youtube上有些13，14歲的外國孩子講抽象代數，實變函式的。講得很好，完全是自己理解後的語言，舉例項也多。
其實有的數學家大牛十幾歲看布林巴基了。
2樓：
我記得以前跟某旦同學交流， 他跟我說他13級的學長zyy（好像是這個人，你旦的同學看到的話可以幫我證實下）高中就學完了本科數學。我本人當時是極為震驚的，這個大佬實力確實超級強，從某個方面看，說明了只要你夠強，everything ispossible吧，眾所周知的tlk就是這一類的。後來也陸續認識了提前學習的很多大佬，但默默也發現了可能存在的一些問題吧。
大佬們進度過於快，一些細節把握不是很好，相關技術掌握沒有傳統意義上那麼高（完全沒有貶義的意思，大佬就是大佬）。再後來認識了一些其他進度很快的同學，發現他們對課本定理掌握得並不好，比如不能複述proof，不清楚條件的適用性，在代數上基本表現為不會舉例子和運算，在分析上尤其是pde上只有大概思路（有點滑稽）。再說乙個栗子，丘賽大佬xk高中並沒有超前學習，然後兩年內學完了丘賽覆蓋內的內容（親自問的）。
最後說乙個自己的感受吧，復分析很難，一些內容要有很高的素養和充實的知識背景才能真正學好，我覺得至少對我來說比實分析難。比如最簡單的cr方程，我是在學了橢圓運算元才感受到他的自然。多值函式上延伸出來的緊緻黎曼面，調和函式的推廣和在pde上的應用，以及單值化定理在流形的各種變形，Jensen公式開始值分布定理都不是一下子可以學好的。
如果你認為會算算留數，畫畫共性對映，知道幾個大定理的證明就是學完了復分析，我覺得還太早。
3樓：白如冰
自學復變要簡單一些，初步學習復變無非就三塊：柯西積分公式、洛朗展開和留數定理，而且解析函式的性質都很好，有微積分基礎就可以上手。
自學實變是需要數學分析基礎的。
4樓：立黨
很難，大部分人所在的高中，連乙個能講明白微積分難題的老師都沒有。
而且你學完了實變和復變，你還有功夫去做英語完形填空，做5年高考3年模擬嗎？在高考模式下，乙個學生多學任何超綱的內容，都是對高考範圍知識的損失，最終得不償失。而大部分家庭又無法負擔自己的孩子讀AP，申請讀美國和香港本科的財力。
所以你需要乙個有超常天賦的、讓你能夠在高三超前學習四年數學系知識，以高分考上華南理工大學的大腦和大肚子。
5樓：竺毅純
以前邱維元老先生給了我復變乙個大大的b，這B也是我專業課維二的B類（還有乙個是高代1），我還不服氣，現在想想真的有道理。復變這東西我現在也不敢說理解。實變倒是挺簡單的。
很多人都說高中生能學，我是持懷疑態度的。畢竟說高中生的理解能力比大二的我厲害，我是不太信的。當然冬令營選手這樣的請無視。
如果要學，個人覺得復變最難的是要意識到複數是個整體，而不是乙個兩個分量的向量。
6樓：Yuki Yuna
乙個人水平怎麼樣不是看他自稱學的有多快，而是從他平時提問和提出想法的表現看出來的。
比如說自稱高中就學完數分大一數分考個75的人，你信他水平很高嗎?
7樓：
數分，復變，實變都是有聯絡的，要是把數分學精，其餘二者可以學得很快。數學學習如小孩子學數數，開始1，2，3，……，學到一定程度自然飛躍，但不是線性學習。
學復變和實變還不到拼天賦的程度，關鍵是時間和精力投入，高中能有多少可支配自由時間。如果高中時既能在cmo拿金牌，又能學得了復變實變，同時自信降一本能上top5，那確實是天賦過人了。目前知乎上能做到這一點的名媛大概就是迷瓏珂了，或許張盛桐也能做到這點。
一直不太明白現在的高中生自學這麼多。如果換作我可能選擇高中乾掉數分高代，大一平時逃數分高代，騰出時間去旁聽高階課程，比如復分析或者微分方程之類等等。
8樓：
其實你看看很多（尤其是非數專業的）人大學上覆變課的狀態，你會覺得他們高中花兩個月稍微學一下運算規則和簡單的基本定理比大學一學期下來學會這些似乎要容易一些……
9樓：聶小貳
學完實變復變，我咋這麼不信呢。。。
那豈不是高一就開始看微積分數學分析線性代數了？總不至於連數學分析微積分和線性空間都不知道就能學完實變復變啊。。。
就乙個智力中上的同學而言，那句話怎麼說來著，「實變函式學十遍」，雖是玩笑，但是也挺真實了。要學得考試及格，不是特別難。但要拿漂亮的高分或者績點是真挺不容易的。要學完，太難了！
10樓：
高中自習的復變，就單純的當成一種工具來學，處理振盪、三角、數列、向量和一些積分問題的時候很實用，做物理題和數學題都能用得上，能提供乙個額外思路和角度去看問題，挺好的。
不過這種野路子的自習也跳過了很多內容（當時覺得用不上的內容），到了大學因為必修才學了剩下的內容。
因為是覺得用著方便才學的復變，實變當時覺得沒多大用就只是簡單看了看。
以數學為志向的學生高中修完實變和復變應該不算特別稀少吧，但是有這個精力和能力理解，說明學生的天賦和資源還不錯。
11樓：dhchen
不過，就算是比較簡單的「工科」版，（如果他確實達到了基本理解復變實變在說什麼，能靈活掌握其基本內容），我依然覺得水平不錯，相當高。至少就學習速度來說是很厲害的。記憶力、抽象思維甚至時間安排上應該都算相當厲害。
說明這個人在數學能力上是比較早慧。至於深度如何，你給的資訊太少了，我沒法判斷。
但是，少時了了，大未可知。我和我導師曾經在火車上談過這個事情：很多少年數學上比較早慧的人最後都沒選擇繼續做下去，為什麼？
因為數學這東西，到了後面開始做研究的時候，對誰都是hard模式（如果你不想滑水，而是想突破自我的話）。很多人也是在見過hard模式後開始打退堂鼓的。所以，你很難憑藉乙個人高中大學學習速度如何如何去做判斷。
再說了，早慧的人有時候也「靈活」，他們有時候比較在乎邊際效益，當數學這個東西不能最快帶來他們想要的東西時這些人就會馬上轉向，畢竟，這樣的腦子學什麼都不慢，而且很多科目也不需要學得多麼精通就能轉化。
總結一下，這位同學如果屬實當然是蠻厲害的。說明他以前做得不錯，很用心。但是，也經此而已，不需要給他過度的期許或者讚美。
否則，就有點捧殺的意思，而且也有點綁架他的意思：好像他非數學不可了。如果你是他的朋友，那就默默守護即可，不需要四處宣揚。
木秀於林，風必摧之。這樣對他的個人前途是最好的。
這一點，我說個個人經歷吧，我大學期間表現比較好，然後有乙個人喜歡當面就誇我，這讓我很不舒服，因為覺得這給我壓力了，然後我就開始躲著這個人了。我說這句話的意思是題主盡量不要傳播同學這件事，因為首先這位同學未必喜歡，第二對他沒有真正的好處。
當然了，如果是這個人喜歡這種虛榮，甚至這件事就是他主動吹的，他自然就會逢人自吹，也不需要你來捧。
12樓：blickwinkle
高中學完，反正比我這個菜雞強多啦～
我高三把大量的晚自習時間花在看復變上面了，看的是史濟懷《復變函式》。看這個的原因的話實在說來慚愧，當時高二高考考科大少年班考的非常差，然後又看到新聞說少年班大一學生就去復變函式的考試還很多考了高分。。。。嗯就是這樣。
基本上我當時的學習過程就是「照葫蘆畫瓢」，學著按照書上的方法去算。但是！實際上我當時連數學分析都沒系統看過，基本的微積分也不是很熟練。
所以基本上只有比較偏計算性質的能學會一些，理論性質的就基本沒轍了。課後習題的話比較簡單的一些還是可以做出來的。
實變大一我才接觸。實際上可能比復變好接受，對於這種「跨越式」的學法來說。因為實變的物件要相對具體的多。
但是可操作性上，實變實在差復變太多，復變學會之後可以算好多好多東西，經常可以拿來算一些實積分。但是實變如果沒有理解黎曼積分的「弱點」可能會和我當時感覺一樣：這玩意有什麼卵用啊
悄悄說一句 |ω｀)，我覺得高中有人學很多分析的內容我從情感上還勉強可以接受，但是高中可以學會大量本科包括研究生的代數或者幾何方面的內容我情感上無法承受
另外。。也是高中就開始接觸到復變的趣味或者說優美吧，大概也是導致我現在在多復變這個方向的非常重要的原因吧。。
13樓：無形
實變沒學過，復變我覺得難度不算高（復分析不知道，我是在數學物理方法裡面學的復變），基本感覺只要能學明白微積分（一元和多元）就能學復變。復變本身的計算並沒有超出微積分那些公式，但擴充套件到複數域會顯得很毀三觀，樓上說的很棒，我再舉個例子，比如之前學的sinx只能在-1到1之間，現在得2也能算了。但其實沒什麼太大問題，慢慢適應就行，畢竟這些觀念也是之前學數學所形成的，再改完全來得及。
而且說實話我覺得學復變對微積分也能加深理解，還能鍛鍊大腦，題主不妨也可以提前看看。
14樓：Yuhang Liu
本科復變並不困難，主要是要克服心理障礙。中學學的都是定義域在實數上的函式，有些人要接受複數也可以作為變數是要有乙個心路歷程的；特別是對復變數求導、積分，更多的是形式上的運算，復導數你沒法理解成「切線的斜率」，而且還牽扯到是否全純的問題。不過復變函式處理的物件其實是很好的數學物件，解析函式，無窮次可微，零點極點都是孤立的，真正學起來並不複雜。
實變的話，難點主要在測度論，這對中學生的抽象思維、邏輯思維能力還是有比較高的要求的。中學生即使能理解數分裡面實數構造的戴德金分割的都不會多，何況是能夠接受測度論那種語言框架的。
你同學高中能學實變復變，一方面說明他起步比較早，他肯定在更早的時候就學完了微積分；另一方面說明他對抽象概念的理解能力比較強，邏輯推導能力也比較強。一句話總結就是他在數學方面比較「早熟」。像我們系裡的教授經常提起乙個詞叫做mathematical childhood。
中學時代的數學放在數學整體教學框架內差不多也相當於幼兒園時期，你這個同學差不多算是從幼兒園大班直接跳級到小學三年級了。不過早學兩年晚學兩年也不一定有特別大的影響，比如說你幼兒園時期拿小紅花最多的同學是不是也是現在學習最好的？
實變函式教科書推薦？
LadySylvanas 推薦一本我個人非常喜歡的教材 實變函式論與泛函分析 夏道行嚴紹宗等著。這本教材我覺得是非常貼近初學者的，內容豐富，講得也很清楚 國內的建議北大周民強的實變函式論，書講的很不錯，並且那本書的有些題目還是蠻難的。國外的推薦stein寫的princeton的教材real anal...
復變函式怎麼學啊？
張戎 如果數學分析或者高等數學掌握程度 ok 的話，其實兩個月學完復變函式是沒有問題的。復變函式和復分析是一回事。復分析的理論比較精美，它是一門歷史悠久的學科，主要是研究解析函式，亞純函式在復球面的性質。下面一一介紹這些基本內容。1 提到復變函式，首先需要了解複數的基本性質和四則運算規則。怎麼樣計算...
實變函式的核心是什麼？
180天不能改 Riemann可積函式構成的集合在以Riemann積分為L1範數的線性空間不完備。引入更廣義的Lebesgue積分在保證具有Riemann積分一切性質 分步積分，積分換元，多重積分交換次序，Newton Leibniz微積分基本公式等等 且保證Riemann可積函式亦Lebesgue...