1樓：morry
高中要學單復變函式，要先學會微積分和解析幾何。單復變函式本質上就是定義在複數範圍內的微積分和解析幾何。至於多復變函式，這是當今數學的核心，要交換代數，同調代數，黎曼幾何，代數K理論很多基礎才能學的。
2樓：
有趣的知識太多了，光是 @奶牛小雪球 提到的幾何上面的應用就可以寫成一本書，叫做《復分析:視覺化方法》。最新訊息：現在此書已經再版！
復分析：視覺化方法-圖書-圖靈社群
對於有復變基礎的人來說這個書讀懂不難，但最好不要用於初學。這本書會以幾何的視角帶領你體會到復分析的美妙。當然，作為復變入門，那麼順便推薦一下沙巴特《復分析導論》（單復變函式那卷，第二卷還是過於困難），有高中基礎就能讀懂（答主就是去年讀的），並且也很嚴謹。
若想要更多的復變函式的有趣應用，範圍更廣，在《復變函式論方法》這本裡面找到很多任務程和物理上例子，最經典的比如說電場，二維勢流，等等。
祝題主學習愉快。
3樓：
在中學教育中，引導學生能將學過的不同領域的知識融會貫通解決問題，是乙個提公升學生能力的重要手段。這裡就拋磚引玉，簡單提幾個複數在平面幾何領域的有趣應用。
大家都知道，平面幾何問題有的時候可以使用解析幾何的語言來描述，但是直接設點用解析幾何語言描述關係有的時候計算會非常繁雜。我們考慮到復平面上的點事實上就是平面直角座標系的座標，但是複數相比於直接寫座標，又有一些模、幅角、共軛運算的良好性質，所以利用複數的性質解決一些平面幾何問題有的時候可能會有意想不到的效果。下面就來舉幾個例子：
複數與四點共圓
定理：不共線的四點 所對應的複數分別為 ，這四點共圓的充要條件是 是實數。
證明這個定理非常簡單，因為四點在圓上，所以必定有：
式（1）與 是等價的。
複數與三角形面積
我們希望求得以複數 為頂點的三角形的面積。我們利用公式：
可以得到：
上式給出的面積可能是負的，需要取模，這三個點逆時針排列的時候面積才是正，順時針就負了，所以我們加個絕對值就好。對了， 是對複數取虛部的意思，同理 表示取實部。
複數與相似
設 以複數 為頂點，然後 對應三個頂點複數可以類似地對應標識為 。
我們知道兩個複數相等則模和幅角相等，則兩個三角形順相似需要:
也就是：
同理，兩個三角形逆相似會滿足：
等邊三角形判定定理
這個證明很簡單，留給大家自行體驗：以複數 為頂點的三角形是正三角形當且僅當：
上式右端是輪換求和標記。
以上是一些簡單的結論，事實上用複數語言描述解析幾何本質上和用向量描述解析幾何是差不多的，據此我們還可以得到很多更為複雜的定理，還是舉個例子。
安寧定理
圓周上按順序排列有 四點，其中任一點關於其餘三點為頂點的三角形的西摩松線交於一點。
這玩意兒要是想用平幾方法證明真是有點麻煩了。我們設四點對應複數為 ，然後考慮 關於 的西摩松線方程：
然後我們有：
還有：將（10）（11）代入（9）發現成立，然後因為（10）是乙個對稱式，所以另外三條西摩松線也經過這個點，則完成證明。
以上就是關於複數在幾何證明應用中乙個簡單的介紹，算是拋磚引玉。這些東西書上應該也都有，有興趣的同學可以買回去看一看，一般來說應該是解幾書上這類東西會多一些。我們類似還可以用複數表示圓上的切線，三角形中垂線、角平分線、四心等等。
如果有興趣，這裡面還有太多的東西你可以探索和發現。
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