1樓：指尖菸草味
引入測度論是為修改"長度公理"，"長度公理"是對有限個物件的作用，測度論研究的是無限個物件，而且還是可數個. 積分論是為解決黎曼積分所不能解決的或者是作為補充他的缺陷
2樓：
形象比喻的話，我不相信你們老師沒用過數錢那個比方。
不知道你們用的是那本教材，但是中文的絕大部分教材都會舉狄利克雷函式的例子，也會有那道「證明黎曼可積函式一定勒貝格可積」的習題，如果還進一步講到了里斯（Risez）表示定理，就會提到對於一切有緊支集的連續函式，黎曼可積與勒貝格可積等價。所以直觀上說，勒貝格積分是黎曼積分的一種推廣，從線性運算元的角度來說，黎曼積分是勒貝格積分在有緊支集函式空間上的限制。
而如果不學習調和分析，而是學習概率論的話，最簡單的答案就是現代概率論就是建立在這套積分理論上的，因為它把乙個事件看成乙個集合，用測度去衡量這個集合。如果不學習實變，高等概率論裡面的術語是聽不懂的（雖說教材裡基本都會粗粗過一遍）。
3樓：WiaQ
上面有個答主 @Vicktore 的回答已經比較充分了，我再做一點補充。我在這裡預設只關注Lesbegue測度，但事實上測度理論遠遠不僅限於此。
黎曼可積的充要條件是被積函式在積分域上幾乎處處連續，也就是在積分域中挖掉乙個零測集，剩下的地方都是連續的。但這是乙個非常強的條件，很容易就可以舉出不滿足這個條件的例子，比如狄利克雷函式，在有理數取1，無理數取0，這樣的函式在R上處處不可積。
Lesbegue積分引入的意義，正如這位答主所說，其實就是為了將可以積分的函式的範圍拓寬。這個範圍的拓寬進而有兩方面的作用。
其一，因為黎曼可積必然Lesbegue可積（當然是在正常積分的條件下，反常積分要求還要多一點，需要絕對收斂），在實際積分的過程中，我們可以將乙個黎曼積分視作Lesbegue積分，從而可以利用Lesbegue積分的性質來解決問題。
其二，在理論研究的層面，拓寬了可積分函式的範圍之後我們也就有了更多可以做地東西。
另外，Vicktore的答案裡面提到「基本上在任何集合上都可以談積分，而不僅限於歐式空間」，這句話如果只考慮Lesbegue測度的話，是有問題的。Lesbegue積分依舊是在歐式空間中的積分，是不可能對非歐式空間中的物件做積分的，比如說[a,b]上的連續函式空間C[a,b]，這個肯定是沒辦法拿Lesbegue積分來做的。但如果要拓寬到抽象測度空間上就是另一回事了。
所以，這也告訴了我們另乙個問題：Lesbegue積分雖然拓寬了可以做積分的函式的範圍，但仍然有它自己的限制，不過一般來講已經夠用了。
4樓：cvgmt
可測這個條件非常弱，因此包括的物件很廣，很多不規則的函式，不規則的圖形都是可測的，雖然它們通常甚至連續都不是，更不要說可導，光滑。
如果要精細的刻畫這種不是很好的函式，一定要引進這套理論，現實當中，大部分是這種函式。
又比如，我們習慣用光滑，連續函式逼近不規則的函式，要度量這種逼近的誤差，也要引進測度這種度量方式。畢竟測度是長度，面積，體積等度量方式的推廣。
5樓：Vicktore
我覺得是為了拓寬可以做積分的函式的範圍。
黎曼積分能處理的情形還是極為有限的。R1上還好，到Rn上，黎曼積分的體系已經很不方便了，要靠劃分網格去取樣逼近，還要頭疼區域邊界產生的各種正則性問題，直觀倒還直觀，但已經很不簡潔了。
6樓：蕭蕭白馬
如果不懂測度，那麼眼中的世界就是完全均勻的。
從勒貝格積分到一般的測度積分，就像是從常數推廣到了函式。想一想如果世界上只有常值函式... 會發生什麼
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