1樓：若漂
瀉藥，來個稍微長點的版本。
拓撲學是用拓撲不變數區分不同胚的拓撲空間(比如可數可分公理、緊緻性、連通性、基本群、同調群)；
泛函分析主要介紹線性賦範空間(還有度量空間、內積空間）和有界線性運算元的性質(Reisz表示定理、Baire綱定理、開映像定理、共鳴定理、Hahn-Banach定理、空間與運算元的緊性）；
實變函式主要是介紹勒貝格測度和積分，用它很好地解決了極限與積分號換序的問題(單調收斂定理、Fatou引理、控制收斂定理)，對比了勒貝格積分相對於黎曼積分的優點和缺點。
2樓：明哲
通俗版——
拓撲學：乙個幾何形狀與另乙個幾何形狀的變化關係。
泛函分析：一群函式之間彼此的變化關係。
實變函式：乙個實數集與另乙個實數集的變化關係。
3樓：Trueman
拓撲學是對泛函分析的統一講述。
泛函分析是對分析和微分方程的統一講述。
實變函式是對數學分析工具的推廣，對實函式的更多病態情況的研究。
4樓：丁李桑
拓撲：考慮幾何形體的連續性
泛函分析：在不同的空間中研究線性函式的共性
實變函式：在Lebesgue測度的意義下研究實函式的積分、連續性等性質
5樓：lwangls老王老師
實變函式: 加強版的數學分析;
拓撲學: 古典剛性幾何的柔性化;
泛函分析: 用代數方法來來研究分析(函式)，類似解析幾何用代數方法研究幾何 = 線性代數+數學分析(?)
6樓：沉木
作為碩士階段逃離數學的人。。。講點我能記住的吧拓撲：橡皮泥怎麼揉都是橡皮泥
實變：本來不可積的函式定義成可積。
泛函：不是數字也可以建立函式關係。
7樓：活潑的喵哥
拓撲學：如何用基本群區分整體結構不同的空間。
泛函分析：無窮維的線性空間和矩陣是什麼樣子。
實變函式：無窮多個奇點的函式怎麼積分。
8樓：Mark
「分析」最核心最直觀的思想是運用動態變化的觀點來研究客觀世界的量變關係，無論是古典的微積分和實分析還是以泛函分析為代表的近代分析，最突出的特點是研究這種動態變化，如極限、連續、微分等概念。
拓撲學：利用開集公理定性描述極限、連續性的語言實變函式：利用測度來嚴格描述經典微積分的語言泛函分析：結合代數、拓撲的語言來研究有限維和無限維空間上的分析學
9樓：高丰
最近看了網上的乙個實變函式的課程。四川大學陳闖主講，我覺得他講得不錯。在一次課堂上，他大概回答了這個問題。
實變函式的核心是測度和有限維函式空間的研究，泛函分析核心概念是距離，賦範空間，無窮維空間的研究。拓撲是代數幾何的高度融合。
10樓：
謝@蔣子恒邀。
還沒學完，跑來口胡一下：
拓撲：終極目的是將拓撲空間分類，分類是點集拓撲和代數拓撲，本科的課程主要研究物件為連續函式；
實變：目的是建立更加普適的積分理論；
泛函：無窮維線性空間上的線性運算元，簡單的比如線性泛函，當然還有非線性泛函分析，暫且不表。（沒學過，逃）
PS:一直沒說話，蔣兄莫怪。覺得還沒有資格回答這個問題。。。在知乎一直是潛水黨，破個例試答一下吧～
覺得這個問題應該是面向沒有學過的讀者，要求又是一句話，所以盡量寫的科普向一些
11樓：
拓撲：在連續變形下有沒有保持不變的東東？
泛函：函式的函式有啥意思？
實變：啥是測度？如何在集合論（代表著嚴格）意義上去「量」某個東東的長度？
12樓：Yan He
實變：建立一種可以放心大膽地求積分和在積分號下取極限的積分理論。
泛函：研究由函式組成的空間的代數與拓撲結構及它們之間的線性對映。
13樓：
看問題題主應該不是非常深入高層數學了，下面按照本科大三的觀點談一下自己的見解。
一句話1：拓撲是研究連續變化的數學，泛函相當於是無限維空間上的線性代數，實變函式就是在全力消滅黎曼積分的侷限性。
一句話2：為了消除課程名稱的晦澀：拓撲就是一門幾何學，泛函主要是用代數的方法在研究變數為函式的函式，實變函式主要由測度與積分組成。
至於三門課中的主要結論和中心定理，由於一句話所限，還是略去吧。
14樓：
實變研究條件更寬鬆的微積分。（通常侷限於實數範圍的勒貝格測度與積分，但不是必須的）
泛函研究函式的函式。（通常的課程講線性泛函分析初步，以巴拿赫空間和希爾伯特空間上的線性運算元為主）
拓撲研究怎樣在一般意義下刻畫抽象空間。（主要圍繞收斂，鄰域，連續對映這些概念）
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