1樓：寨森Lambda-CDM
沒正經學過實變函式，我是這麼想的： ，每個可測集 都可被有限個無交區間的並 逼近，當 很大時定義 裡的每個區間上的函式值 ，且對稱差 的測度將會被控制。不過這樣有個問題，就是當 時 與 的交集（仍為區間）上 的函式值被重複定義了（ 與 ），但是這個交集的測度也是能被控制的，因為 與 本身就是無交的，那麼 與 的交集的測度也不會有多少。
下面是嚴格回答，符號參照baby rudin的第11章
設 ，其中 （勒貝格可測集）。又 ，故 （有限勒貝格可測集），因此可以找一列 使 ，其中 是有限個區間的無交並。並且當 時， 。
對於任何 0" eeimg="1"/>，選取充分大的 就可使當 N_i" eeimg="1"/>時有 及 。再取 \max_i N_i" eeimg="1"/>就可使在 且 。讓 裡的每個區間上讓函式 的值等於 。
這樣有個問題，就是當 時 的某個區間可能會與 的某個區間相交（交集仍是區間），造成定義不well-defined，不過不要緊，它們上面隨便定義函式值，反正其測度被控制住了。注意到使 的點只能在 裡，或在 中，而它們的測度
2樓：三川啦啦啦
我瞎寫乙個哈：
根據簡單函式定義，
下面構造階梯函式 。對於每乙個可測集 ，都可以找到乙個閉集 （所謂閉集，就是指閉區間的有限並），合於
於是定義
故階梯函式 與 只在集合
上取值不同，但是它的測度：
我實變很菜的，常常需要查書。暫時就先這麼回答，有什麼錯誤繼續交流吧！
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