這個有關斐波那契數的求和怎麼證明？

1樓：VNVM

已經有嚴謹的證明了，我來提一下乙個有趣的思路吧。

考慮一元二次方程1+x-x=0,假裝你不會解這個方程。於是就想考慮一下怎麼解。很顯然，麻煩主要在於x項，如果我們讓它消失，那這個方程就會變成可愛的1+x=0,而這個方程的解顯然是x=-1。

可是這並不是原方程的解，怎麼辦？

沒關係，我們設x=-1+y,把原方程裡的x全部換成-1+y,就得到了1+(-1+y)-(-1+y)=0,也就是-1+3y-y=0。你還是不會解這個方程，就把y也忽略掉好了！-1+3y=0,y=1/3。

接著再設y=1/3+z,代入得到-1+3(1/3+z)-(1/3+z)=0......好了不用說了，我相信你已經知道接下來會發生什麼了。

但是當你算下去時，你會發現x=-1+1/3+1/21+1/987+...從第二項開始，分母恰好是F_2^n，也就是說題目中要求的無窮級數之和S=x+3。

現在你可以從失憶狀態中恢復過來了，你知道這個方程有兩個解，而我們求出來的是它的負根，也就是(1-√5)/2，它加上3，得到S=(7-√5)/2,大功告成！

當然還有許多遺留問題，比如說為什麼會出現斐波那契數列(用歸納法不難證明)為什麼這種迭代法能湊效(這種方法其實是牛頓多邊形方法的乙個特例)，為什麼無窮級數會收斂到負根，這些都是有原因的，但我不想寫了。。。就這樣吧！

2樓：Aries

實際上，我們有級數的部分和：

證明：顯然當時成立。假設此式當 k 為某個正整數時成立，則 k + 1 的情況：

利用可知：

代回得：

再次利用 Catalan's Identity 可知以及，所以：

即 k + 1 的情況也成立。由數學歸納法，原式成立。

令得：

3樓：rossetta

回頭一看，跑題了。囧，不過既然寫了，就留著吧。

通項公式中的配係數法。

以下只講解一般方法，具體到某個例子，交給讀者。

自己寫作業分割線

對常數，數列通項配方法是指對形如：

一類的通項做變形，變成：

如果記：

就得到：

這個數列就是常見的等比數列了，其通項易求，是：

現在，只要知道，就能求出的通項。知道了的通項，再求的通項。

好了，以上就是思路。下面接著求之間的關係。

對比：

此即：於是，必有：

問題化為乙個關於的一元二次方程，稱為此數列的特徵方程：

此方程的判別式為：

注意：判別式小於0時，產生虛根，但不構成特例。

具體地，兩個根是：

至此，由和這兩組解分別得到乙個：

其中：兩式做差消去項，終於得到的通項公式，即：

上式還可化簡，此處略去，交給讀者演算。

唯一的特例是，或的情況，此時特徵方程的解退化為：

即：這時只得到乙個，即：

不要慌，只需進行一次遞迴求和，即可解出：

最後，得到特例下的通項公式：