1樓：
這不是裴蜀定理麼
可以反證，假設ax+by在x，y取遍所有整數（不全為0）時得到的數集合M_0不含有1，顯然集合非空。
為了簡單我們只考慮結果中的正數子集M，不影響證明，顯然M非空。
則集合M存在最小的正整數z＞1，斷言整個M集合形如，都是z的倍數。
否則取r屬於M但不是z的倍數，則r-z仍然屬於M（考慮M的定義，並且顯然有r＞z），一直減下去會得到乙個比z更小的正整數（實際上就是r除以z的餘數），矛盾。
因此斷言得證。
這時我們發現，取x=0，y=1，得到b是z的倍數。取y=0，x=1，得到a是z的倍數，z是a和b的公因子，並且z大於1，與互素矛盾。
因此原假設錯誤，M集合必然含有1。
2樓：團雀兒Msquit
ab互素，只要x模b，y模a不全同，ax+by的值模ab也就不同，由此容易發現ax+by=1（mod ab）有解且x modb ， y moda意義下唯一，考慮0＜x＜b， -a＜y＜0以及-b＜x＜0，0＜y＜a，用不等式夾這兩個情況，從而問題得解
3樓：TravorLZH
下面我們證明原題的推廣版：
Bezout引理：若d為整數a、b的最大公約數，則存在整數x、y使得ax+by=d
證明：由對稱性，我們假設a、b非負。則我們可以對a+b進行歸納。
很明顯a+b=0時命題成立，所以我們接下來假設命題在a+b=1,2,...,n-1時也成立。假設a+b=n且a≥b則：
由於a-b與b的最大公約數也為d，所以命題在a+b=n的時候也成立。
4樓：小雨可白
用到三個小引理。除去Lemma 1，其他引理將在最後證明。
注意：以下證明過程中將簡寫 作 ，意為 的最大公因數。Lemma 1
對於任意的一組整數 ，一定存在一組整數 ，使得 ，且 。
Lemma 2
如果 b,\,a=bq+r,\,0\leq r，則有 。
Lemma 3
對於集合 ，若有 ，則有 。
Theorem
如果 ，則存在一組整數 ，使得 。
Proof
根據Lemma 1，我們寫出可以以下等式組。結合等式組 ，根據Lemma 2我們又有。而 ，且 r_2>...>r_n>0" eeimg="1"/>，結合等式組 ，有 。
將等式組 變化一點點，寫成以下形式
。結合等式組 ，根據Lemma 3我們有 ，其中 。
即存在一組整數 ，使得 。
Lemma 2
如果 b,\,a=bq+r,\,0\leq r，則有 。
Proof
我們假設 ，則可以設 。
根據Lemma 1有 ，所以 。
根據 和 又有 ，顯然 。
假設 ，則由 可以得出 。
由 又推出 。
而 ，所以 ，即 。
Lemma 3
對於集合 ，若有 ，則有 。
Proof
因為 ，所以可以設 。。
5樓：宙宇001
條件是 ，令 設 是 中的最小正整數，則 ，因為 ，所以必有 ，那麼存在 滿足 其中 . 於是 因為 ，而 是最小正整數，所以 ，這說明 是 的因子.
同理可得 是 的因子，因為 ，所以 ，至此得到整數 使得
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