1樓：whitebob
瞎寫的不知對不對，供你參考。
反證法若有乙個元素在形成的並集中卻不在交集中，在此元素的任意小的某個鄰域內必存在乙個或一對點，使得g或f屬於B不成立，否則明顯此元素屬於交集。根據區間套原理，這乙個或兩個特殊點的極限趨近此元素所以會有這個元素本身就不符合g(x)的值或者f(x,x) 的值在B內同假設在並集中矛盾。所以並集是交集的子集。
任意乙個交集中的元素，若其屬於B，則必然在並集中。若其不屬於B，不妨記作z，並假設z點關於f和g原像的閉包也和B沒有交集(否則命題已證)，易知問題轉化為了上邊已經證明的情形。
2樓：喝水
這是乙個好題目。雖然我不是很清楚背景，但是這個方式是定義，闡明乙個新概念的兩種典型方式。
證明：記 那麼 , 即
於是可以令
假設已經成立以下事實：
(1):
(2):
那麼(1)蘊含 成立 那麼自然有
(2)蘊含 這樣就得到
下面論證這兩個事實。論證(1): 任意給定 , 歸納 .
Case 顯然成立
假設對於Case 已經成立. 那麼根據 的定義, 均為 的子集, 即 . Case n成立. (1)的論證完成.
論證(2): 顯然 . 現在任取 .根據 定義，存在 使得 記 ,於是 那麼 .於是 .此即
Q.E.D.
無關的話：是從大到小的定義方式，也是定義的簡潔表示，它強調了當乙個對集上性質對於集合交有封閉性時，可以通過交上所有具有該性質的子集生成乙個最小物件； 是從單點出發，逐漸生成乙個完整結構.
比如上面定義的 , 其依然滿足 ,是滿足這種性質的最小子集:
類似地，我們考慮線性空間 的子集 , 生成的（最小）子線性空間也可以表示成兩種方式:
這裡 是 的(數)域.
子集生成子群，子理想等概念都有類似的表達。此外，這種擴張方式，在利用Zorn引理證明某個物件存在性時也有類似的論證方式，比如Hahn-Banach延拓定理.
題目留檔
怎麼證明這個幾何問題
愛幾何的傲夾夾 把原橢圓的兩個焦點按你的方式變換出去到A B兩點然後對於橢圓上任意乙個點所變換到的P點，你用相似證明PA PB也是乙個定值2a，就首先證明了P軌跡也是橢圓。並且這個定值2a與原來橢圓的定值有相似比例關係 由所給的兩個定角決定 然後由於AB長度2c也與原來橢圓的焦距長度有同樣大小的比例...
請問大家這個等式怎麼證明？
陪你看每乙個日出 看了其他答主的做法，就是需要證明乙個一般性的恒等式 分享乙個比較硬核但是易懂的方法，只用到最基本的和差化積和積化和差以及泰勒級數裡面最基本的內容，基本上用不到比較高階的公式和結論，復變函式的核心內容也不涉及。容易得到 博雅 北京大學2019年數學分析試題及解答 原題的 這個鏈結裡面...
這個數論問題怎麼證明？
這不是裴蜀定理麼 可以反證，假設ax by在x，y取遍所有整數 不全為0 時得到的數集合M 0不含有1，顯然集合非空。為了簡單我們只考慮結果中的正數子集M，不影響證明，顯然M非空。則集合M存在最小的正整數z 1，斷言整個M集合形如，都是z的倍數。否則取r屬於M但不是z的倍數，則r z仍然屬於M 考慮...