1樓：禾嶴
設 為單減數列，若滿足題設條件，則有 ,簡單換元，令 ,顯然 也為單減數列，且 .
雖然 是二階齊次線性遞推數列，可以求通項公式，但是從通項公式計算單調性比較複雜，我們先考察前幾項的單調性:
b_" eeimg="1"/>;
b_=b_-b_\Rightarrow b_<2b_" eeimg="1"/>;
b_=b_-b_=b_-(b_m-b_)\Rightarrow 2b_>3b_" eeimg="1"/>;
將後面的項用前兩項 和 表示出來，並帶入 ,可以得到兩組不等式：
f_b_" eeimg="1"/>和 ,
其中 是斐波那契數列，不等式中的 為奇數（我採用的首項為 ,如果首項定義為 則 要取偶數）。
這組不等式由數學歸納法容易證明，這裡不多贅述。
把兩個不等式合在一起，得到 b_m>\frac}}b_" eeimg="1"/>,
這是乙個很顯然的夾逼，由 ,
並且 為奇數時 \frac}" eeimg="1"/>, ,
得 .我們不妨讓 ,由 得 ,可以驗證 是遞減的。
此時 ,數列 是遞減的，構造就完成了。
順便補充一點，上面過程是為了構造簡便取了 ,事實上， 可以任取，我們可以從 開始往前推，不考慮 b_m" eeimg="1"/>,因為這只是相當於從 開始遞減。可以求得 ,然後繼續往前推，可以發現 從右往左是振盪上公升或者上公升的，（就是說如果不想 取負值，在取 的情況下， 只能等於 ；如果 取了負值，那它只能是第二項）
2樓：
題目遞推公式那個 n>2是不對的，這樣 就沒有意義了，推不出 . 括號裡應當是 n≥1.
設 則遞推公式為 ,
我們的目標是n≥m時 遞減，於是n≥m時，有 .
熟悉的二階遞推公式，特徵方程 , 兩根為 .
所以存在常數 使得 .
b_" eeimg="1"/>當且僅當 -\frac \;(n\ge m)\cdots\cdots (I)" eeimg="1"/>.
若取 , 則(I)式等價於 0." eeimg="1"/>此時 ,想與 銜接非常簡單——只要讓 即可. 此時 這樣就給出了答案的一種構造。
ps: 若題目改變，首項 是負數，那麼答案的構造為: .
pps:假設 ，則(I)式右邊隨著n的變化會正負交替，且絕對值會單調遞增，此時
"(I)對一切n≥m恆成立" 是不可能的。 所以本題結果只有 一種形式，即必須要有相鄰兩項 使得 0,\;b_=b_m\alpha." eeimg="1"/>
如何證明 Xn 這個數列有界？
博博博博博 這類題有這樣的幾何解釋，蛛網工作法，解釋了為什麼要這樣放是可以找到上界的，也是不動點理論。對於分子列的單調有界也是可以這樣做的 shujn 看了其他答主的答案，我來提供乙個較為常規的思路。思路分析 從 這個遞推關係入手，首先想到如果 是乙個壓縮映象，那麼就可以通過尋找不動點的方式來論證序...
如何求這個數列問題的通項公式？
這題的證明方法我覺得多少都有點先猜後證的意思，我來簡介一下思路首先呢，這題原題是第18屆IMO的題，不過原題說實話比這簡單得多，原題是這樣的 已知 證明 原題顯然簡單得多，已知答案的話，直接數學歸納法就行我們來看看怎麼不用數學歸納法 對於數列 我們設乙個數列 它滿足 很顯然，我們可以得到 以及 這裡...
這個數論問題怎麼證明？
這不是裴蜀定理麼 可以反證，假設ax by在x，y取遍所有整數 不全為0 時得到的數集合M 0不含有1，顯然集合非空。為了簡單我們只考慮結果中的正數子集M，不影響證明，顯然M非空。則集合M存在最小的正整數z 1，斷言整個M集合形如，都是z的倍數。否則取r屬於M但不是z的倍數，則r z仍然屬於M 考慮...