1樓：無理函式君
把數列化成Pochhammer多項式的組合形式，很容易得出那些結論。
Pochhammer多項式是這樣定義的:
例如：https://
2樓：
考慮數學歸納法證明如下定理：
對於正整數 有：
證明：
(1)基本步驟：當 時，有 ,故成立；
(2)歸納步驟：當 m" eeimg="1"/>時，有 由此定理我們可以得到組合數的另外一種形式：
即 注意到上式中藍色部分即為題主的公式。
下面說一下題外話：
方框中的式子可以體現加法計數原理下的組合數公式，高中常見的網格模型就能體現這個等式：
在乙個 正方形網格中，從最左下沿最短路徑到達最右上角，有多少種路徑？
配圖，與下題中的5×3網格無關
我們都知道，組合數的定義式是由乘法計數原理得來的，即： 同樣的道理，我們也可以通過加法計數原理來匯出組合數的乙個公式。以網格模型為例：
簡單起見，在乙個 的正方形網格中，從 運動到橫座標為 的點有以下幾種可能：
假設運動到了點 ,那麼接下來運動到橫座標為 的點有以下幾種可能：
所以我們就有所有可能的最短路徑數目：
而我們用乘法計數原理，自然有最短路徑數目：
自然有如下公式恆成立： 現在你再回去看一下方框中的公式，就能明白那個公式在表達什麼了。
此公式可用於推導 [1]
我們知道 那麼如何求出 呢？
注意到(1)式表示式中具有平方項，我們只需對兩邊同時求和就能得到平方和的表示式： 以此類推，可以得到 的表示式。
最後再插一句，題主的問題在人教A版選修2-3教科書楊輝三角的性質一小節中就有提到，即下圖中的第3題：
PauseAndPonder：兩道有趣的高中數學題
如何證明這個數列問題
禾嶴 設 為單減數列，若滿足題設條件，則有 簡單換元，令 顯然 也為單減數列，且 雖然 是二階齊次線性遞推數列，可以求通項公式，但是從通項公式計算單調性比較複雜，我們先考察前幾項的單調性 b eeimg 1 b b b Rightarrow b 2b eeimg 1 b b b b b m b Ri...
如何求這個數列問題的通項公式？
這題的證明方法我覺得多少都有點先猜後證的意思，我來簡介一下思路首先呢，這題原題是第18屆IMO的題，不過原題說實話比這簡單得多，原題是這樣的 已知 證明 原題顯然簡單得多，已知答案的話，直接數學歸納法就行我們來看看怎麼不用數學歸納法 對於數列 我們設乙個數列 它滿足 很顯然，我們可以得到 以及 這裡...
這個數列的通項怎麼得到？
薛丁格的貓 柯西收斂準則 極限收斂的充要條件 在沒有或者想不到更好的辦法的時候 直接用柯西收斂準則準沒錯 ViXbob 故 恆成立。顯然 的極限存在，且為 4 eeimg 1 此處 且 不難得出奇數項均小於 故有0 end eeimg 1 所以 為單調遞增，上界為 的子串行，故該子串行存在極限，且有...