1樓：
這題的證明方法我覺得多少都有點先猜後證的意思，我來簡介一下思路首先呢，這題原題是第18屆IMO的題，不過原題說實話比這簡單得多，原題是這樣的：
已知 ， ， （ ），
證明：原題顯然簡單得多，已知答案的話，直接數學歸納法就行我們來看看怎麼不用數學歸納法
對於數列 （ ），我們設乙個數列 （ ），它滿足：
， ， （ ），
很顯然，我們可以得到
以及（ ）
這裡的代換實際上和雙曲余弦函式的二倍角公式有關，詳見：
若t=x+1/x，則x∧n+1/x∧n（n為正整數）關於t的表示式是什麼？
現在我們猜想，數列 （ ）的通項公式具有這樣的形式：
（ ）這裡的底數其實選取誰無所謂，無非就是指數上乘乙個係數的問題現在我們有：
即現在有兩個思路
且換而言之，即
高中數列怎麼用不動點和特徵方程?
斐波那契數列通項推導過程中憑什麼定理斷定它能寫成兩個等比數列的和？
這需要注意一點，就是無論
還是它們所對應的齊次方程都是
有乙個特徵根是
而有一對共軛虛根，不可
則具有特徵根
與 具有相同特徵根，符合
對於令代入 可得
（ ）此時它恰好滿足：
（ ）這個結果符合題意，它也是原IMO的題的結論現在問題來了，憑什麼
且我能不能反過來，即
且其實也是可行的
此時即同樣需要注意，無論
還是它們所對應的齊次方程都是
有乙個特徵根是
而有一對共軛虛根，不可
則具有特徵根
與 具有相同特徵根，符合
對於令代入 可得
（ ）此時它恰好滿足：
（ ）所以這個結果也符合題意
如果你注意到
（ ）你會發現這兩個答案其實是等價的，甚至是完全一樣的
2樓：彼岸落筆
首先有乙個背景，對於 型遞推我們可以利用代換 來處理,這樣後面的2就乾掉了。
設 ，帶入遞推關係，得到
然後開啟
注意到 ，所以猜測右側有一組將常數抵消，由於線性遞推 沒有實特徵根，故我們就用它來抵消常數，即 ， 。
解遞推 ，得到 ，結合前面的假設可以得到 。
所以答案是
3樓：予一人
構造輔助列 滿足
於是有兩式相加得
於是，遞迴地成立
再構造輔助列 滿足
於是有 並且對 成立
這清楚地表明了， 但此時我們掌握了關於 的多一點資訊，就是它與 的關係，於是考慮先求出 的通項。
注意到於是
當 時，有
當 時，有
整合起來表之，就是
由此寫出
如何求此數列的通項公式？
HeRaNO 又回來寫高考題了。數列的不動點法需要保證數列極限存在 1 但經過求取這個數列極限不存在。如果按照特徵方程的模式，需要設 看起來變得很麻煩 UPD 另乙個回答提到了一種大力配成能用特徵方程求解的形式，很絕活。這裡採用另一種高考通用方法。兩邊同除 可得 令 可得 可知這是一種前 項和形式，...
這個數列的通項怎麼得到？
薛丁格的貓 柯西收斂準則 極限收斂的充要條件 在沒有或者想不到更好的辦法的時候 直接用柯西收斂準則準沒錯 ViXbob 故 恆成立。顯然 的極限存在，且為 4 eeimg 1 此處 且 不難得出奇數項均小於 故有0 end eeimg 1 所以 為單調遞增，上界為 的子串行，故該子串行存在極限，且有...
數列 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1 的通項公式是多少呢？
這個數列的最小正週期是 所以它顯然滿足遞推關係 這是乙個四階常係數線性遞推數列 高階常係數線性遞推數列通用解法可見 斐波那契數列通項推導過程中憑什麼定理斷定它能寫成兩個等比數列的和？對於遞推數列 其中 是常數，這是乙個k階常係數齊次線性遞推數列如果其特徵根 兩兩互不相等 無重根 的情況下可以證明，對...