1樓：
這個數列的最小正週期是 ，所以它顯然滿足遞推關係：
（ ）這是乙個四階常係數線性遞推數列
高階常係數線性遞推數列通用解法可見：
斐波那契數列通項推導過程中憑什麼定理斷定它能寫成兩個等比數列的和？
對於遞推數列：
其中 ， 是常數，
這是乙個k階常係數齊次線性遞推數列如果其特徵根 兩兩互不相等（無重根）的情況下可以證明，對任意的常數
的線性組合
是遞推數列 的解
這類數列若存在 個正整數 （ ）
使得 （ ）
也即所有特徵根都是1的正整數次方根的時候
此時，數列 （ ）便是週期數列
而最小正週期
這個結論是顯然的
對於本題，其4個特徵根分別為
（也即1的4個四次方根）
然後令（ ）
代入可以解得
， ， ，
所以（ ）
由棣莫弗公式
馬上可以得出：
（ ）二者是等價的，形式不同
2樓：Mirion
整理一下，對於數列 可使用下列的公式求得通項而對於數列 僅需將 替換成 即可
通用公式Ⅰ（來自 tetradecane 的回答）代入可得
通用公式Ⅱ（來自明日香的回答）
代入可得
3樓：祈無空痞
前面神仙太多，我還是來個純高中無三角無分段的簡單取整版本吧
An＝[（（n+2）-4*[（n+1）/4]）/4]-[（n-4*[（n-1）/4]）/4]
其中「[ ]」均為取整函式
4樓：暮雪朝霜
在座標系內標註出0，1，0，-1，0，1，0，-1........後可以發現圖形與正弦sin(x)的軌跡完美貼合，因此通項公式可以表示為
sin(kπ/2) （k=0,1,2,3,4,5......N）
5樓：脆弱的碳基生物
全是說傅利葉變換的，為啥不直接用虛數的冪指和取整函式來解決呢……傅利葉是好用，而且容易程式設計，但是如果是直接算最簡單的還是用冪指和取整函式來計算的吧
定義0^0=1 那麼an=0^*i^(n/2 - 1)其中[.]為取整函式，取得不超過括號內內容的最大整數
6樓：MALLLLLLLL
給個初中方法：
n從0開始
an＝（n%2）*（-1）^（[n/2]%2）其中 ^是次冪，即x^y就是x的y次冪
[ ]為向下取整
如果不用向下取整的話，就寫成
an＝（n%2）*（-1）^（（（n-1）/2）%2）大概意思是：把零和非零用奇偶分割，非零的兩個數又可以通過除以2以後的奇偶分割，這樣就能表示所有情況了。
當然化簡一下也可
an＝（n%2）*（-1）^（（n-1）/2）
7樓：程然
an=sin(πn/2-π/2)
看到是週期且對稱的數列，有過高中數學三角函式知識不難湊出來啊
好吧，看到高讚數學大佬們，真的怕了。
8樓：
我來給乙個小學奧數水平的解吧：
容易看出，原數列可以由
數列 (-1)^(n/2) 錯位相加得出，這裡 / 表示整除(-1)^(n/2) = 1, 1, -1, -1, 1, 1…(-1)^((n+1)/2) = -1, 1, 1, -1, -1, 1…
故原數列 = ((-1)^(n/2) + (-1)^((n+1)/2))/2
9樓：謝鈞
@Song 的回答已經講得很好了，但是我還有一丟丟的補充。正弦函式當然是最自然的想法，但是是否也存在如下形式的可能呢？
這種寫作 ， 為函式週期的三角波既然可以，梯形的形式自然也可以。甚至於說，一些更加奇怪的週期性函式的通項公式應當也可以滿足題目的要求。
那麼這些情況的通項公式又要怎麼辦呢？以三角波為例，我們對其進行一下傅利葉級數展開。
傅利葉級數展開公式：
由於題目中是奇函式，因此 與 都為0。
這樣就得到
可以發現 的第一項恰好就是 @Song 給出的 。我這裡也是從n=0開始計的。
那麼組成 的其他項係數呢？
當n為偶數時（ ），
當n為奇數時（ ），
注意上述等式是在x為整數的條件下成立的。
巧了，這些函式都可以作為題目所求的通項公式。
類似地，梯形波與其他符合條件的週期函式都可以用相同的辦法進行傅利葉級數展開。所以我們可以得到乙個更為普遍的通項公式：
其中 滿足 。即 可以由任意項形如 的函式疊加而來，只需要它們的係數和為1即可。
P.S. 留一道課後作業。回到三角波函式的例子中，證明一下三角波函式的傅利葉級數展開係數和
10樓：Jelly Goat
奇怪，殺雞焉用牛刀？
數列通項的核心在於規律性，這個數列的規律是四項迴圈的[0，1，0，-1]。
那麼我們將答案鎖定在整數集合上，對2取模，配合（-1）的二分之n次方獲得的隔項迴圈正負號，這題就搞定了。
11樓：阿巒
這種一看就知道是正弦曲線平移一下就行了。
正弦曲線就是y＝sinx，當然數列通項的話x就只能取1/2倍的π的倍數了，然後因為x等於1時結果為0所以整個函式影象往右平移1個單位，那通項就是sin[π/2*(x-1)]咯。
12樓：
x^4=1
解1，-1，i，-i
設通項公式為a+b(-1)^n+c*i^n+(-i)^n，使用待定係數法計算得
c=d=-1/2，a=b=0
於是通項公式為
an=－(i^n+(－i)^n)/2
=-(e^(nπi/2)+e^(－nπi/2))/2=－cos(nπ/2)
忘了傅利葉了。
13樓：TravorLZH
不知這個表示法算不算
仔細看了看，這剛剛好滿足正弦函式的高階導數規律：
函式本身：sin(0)=0
一階導數：cos(0)=1
二階導數：-sin(0)=0
三階導數：-cos(0)=-1
四階導數：sin(0)=0
所以該數列的通項公式就是sine的n-1階導數在x=0時的取值：
14樓：劉阿華
我看到這道題隱隱覺得我會，因為高中好像做過類似的題然後看到第乙個回答這麼多複雜的公式，我懵逼了，但是我真的做過這道題在高中
最終，我看到了通項公式
淦！突然想起來
當時老師直接給的答案，說一般這種有週期性的都會是sin cos我還以為我多NB
15樓：伍劍滔
看到這個問題，第一時間就開啟問題日誌，發現是最近的問題，肯定又要從乙隻蝙蝠說起，哈哈哈
先宣告，下列解法未涉及高等數學，毛都沒有，純粹的高中學歷就能明白。
原題答案：-cos（nπ/2）（這個答案應該是最簡單便捷的了）
思路：沒什麼太多的思路，看到週期數列，週期為4，還是對稱分布，可以直接利用三角函式的週期性以及對稱性。可以推導出結果了
思考和推廣：
類似的週期數列能不能處理出新的思路？
我看到有個回答是造出***的基礎數列（通過三角函式和-1的n次方相加減）直接與1相加減，這個回答基本沒什麼毛病，三年前我遇到這樣的問題也是這樣解的，但是，這只能解到週期為4的數列或者週期為2的擺動數列，遇到其他週期的數列就沒辦法了，所以只能利用更加奇特的一種思路。
舉個例子，可以思考***這個數列
在三角函式中，有週期性和對稱性，也是有限數列，便可利用其特性，首先將乙個三角函式上移至與x軸相切①，並將其中乙個週期三等分發現有兩個數相同另乙個數是2，分別是1/2，1/2，2，1/2，1/2，2，1/2，1/2，2好了，整理就可以得到001數列了
以上的思考基本是萬惡之源，就像魔方中的三階四階五階一樣，會解這三個魔方，就會解所有的的高階魔方（非異型）了
五階型000010000100001
將①的乙個週期五等分，得出的數列2，X，X，X，X，2，X，X，X，X，2，X，X，X，X，2再將整個數列下移到（X+X）/2得到2-（X+X）/2，|（X-X）/2|，-|（X-X）/2|，-|（X-X）/2|，|（X-X）/2|，2-（X+X）/2，|（X-X）/2|，-|（X-X）/2|，-|（X-X）/2|，|（X-X）/2|，2-（X+X）/2到這裡，只需要將整個數列絕對值處理便可以得到2-（X+X）/2，|（X-X）/2|，|（X-X）/2|，|（X-X）/2|，|（X-X）/2|，2-（X+X）/2，|（X-X）/2|，|（X-X）/2|，|（X-X）/2|，|（X-X）/2|，2-（X+X）/2整個數列上移|（X-X）/2|並同時除以（2-（X+X）/2+|（X-X）/2|）即可得到1，0，0，0，0，1，0，0，0，0，1數列（上述X=cos（2π/5）+1，X=cos（4π/5）+1）
n階型思路
將①的乙個週期n等分，得出數列2，X，X，X.....Xn-1,Xn,Xn-1.....X，X，X，2，
X，X，X.....Xn-1,Xn,Xn-1.....X，X，X，2，X，X，X.....
Xn-1,Xn,Xn-1.....X，X，X，2再一步步取中間值平移做絕對值，最終就能得到所要的週期數列
總結：這個問題是我三年前高二的時候晚修不想做作業手機也被沒收了淦出來的，所以那個時候接觸到的知識還比較少，像這種方法只能算是一種能用手表達出來的，不是能用計算機語言表達的，意思就是我無法用計算機語言表達出n階的推導，又或者說以我的計算機思維無法寫出表示式，只能有需要的時候一步一步推導，三階的通項公式都還算簡潔，上到五階已經是一大串字元無法在這裡寫出來，再上去六階七階我就呵呵，所以說這只能算是接觸高等數學前可以使用的一種推導思路，再走向更高緯度的解答裡，結果可能會更加明朗。
但我擔保，這個答案的解答已經是絕大多數非數學專業的人就能看懂的一種答案了
16樓：大叔默默路過
瀉藥。。一看就是三角函式的題目啊。。看了那麼多高贊答案，都列的那麼複雜幹嘛？數學不就是追求簡約美麼？
簡單直接點，sin0°=0、sin90°=1、sin180°=0，sin270°=-1、sin360°=0。。。
所以通項公式就是sin（n-1）*90°，n為自然數。。
以上。。
17樓：葉飛影
這個世界上有10種人，
一種是不懂二進位制的，
另一種是懂二進位制的。
我屬於後者，哈哈哈~~~
f(x) = (x&1)*(1-(x&2))
18樓：醬紫君
用我這裡這個奇偶合併公式的推廣形式就行了
兩個數列如何合併
原理我裡面寫了一遍了就不再複製一遍了.
然後根據這個原理程式設計解決:
merge[a_
]:=Block[,
f[n_]
:=Mean
@Table
[Exp[2
IPiin
/k],];
FullSimplify
[ExpToTrig
@Sum[f
[n+i
-1]a
[[i]],],n∈
PositiveIntegers]]
merge
非常智慧型, 不會因為你多寫了一遍週期變得更複雜其實本質上和 @Song 給出的方法是一摸一樣的, 只不過直接寫出預解基簡化了運算量
如何求此數列的通項公式？
HeRaNO 又回來寫高考題了。數列的不動點法需要保證數列極限存在 1 但經過求取這個數列極限不存在。如果按照特徵方程的模式，需要設 看起來變得很麻煩 UPD 另乙個回答提到了一種大力配成能用特徵方程求解的形式，很絕活。這裡採用另一種高考通用方法。兩邊同除 可得 令 可得 可知這是一種前 項和形式，...
如何求這個數列問題的通項公式？
這題的證明方法我覺得多少都有點先猜後證的意思，我來簡介一下思路首先呢，這題原題是第18屆IMO的題，不過原題說實話比這簡單得多，原題是這樣的 已知 證明 原題顯然簡單得多，已知答案的話，直接數學歸納法就行我們來看看怎麼不用數學歸納法 對於數列 我們設乙個數列 它滿足 很顯然，我們可以得到 以及 這裡...
怎麼用特徵根法和不動點法求數列的通項公式
已重置 清理草稿箱 這種問題應該直接查閱肯尼斯 羅森 Kenneth Rosen 離散數學及其應用 第七章 高階計數技術。 cvgmt 如果把一大堆大學數學搬出來，正好顯示我們沒有對數學有個人理解。其實就是找特解 例如斐波那契數列數列 我們去找乙個特殊形式的解，最簡單就是等比數列，於是試一試代入發現...