1樓：HeRaNO
又回來寫高考題了。
數列的不動點法需要保證數列極限存在[1]，但經過求取這個數列極限不存在。如果按照特徵方程的模式，需要設
看起來變得很麻煩……
UPD：另乙個回答提到了一種大力配成能用特徵方程求解的形式，很絕活。
這裡採用另一種高考通用方法。
兩邊同除 ，可得
令 ，可得
可知這是一種前 項和形式，考慮首項，注意求和項為 項。
考慮等差等比分組求和，得
化簡整理
第二問 顯然為一解，肯定是存在的。證明唯一性時注意等差數列的定義即可（注意 的取值範圍）（看起來很麻煩，不寫了）。以上。
2樓：Henry Yang
高中時想過這樣一種辦法.
Core idea：將遞推式化成只有 的形式.(比如下面的 )知於是
知於是特徵方程為
化為於是特徵根有 故通項公式一定為
的形式, 其中 的值可以由數列前三項確定.
補充說明：本題最正常的求通項方法當然是
所有式子求和知
再補充說明：在高中階段我們有這樣不可以直接用的結論：
給定正整數 與實數 若數列 滿足對任意正整數 有則稱方程
為數列的特徵方程, 若方程可以改寫為下面的形式其中 各不相同, 均為正整數且
則稱為數列的特徵方程的特徵根, 數列的通項公式可以表示為
其中 均為常數.
應該沒寫錯吧……
如何求這個數列問題的通項公式？
這題的證明方法我覺得多少都有點先猜後證的意思，我來簡介一下思路首先呢，這題原題是第18屆IMO的題，不過原題說實話比這簡單得多，原題是這樣的 已知 證明 原題顯然簡單得多，已知答案的話，直接數學歸納法就行我們來看看怎麼不用數學歸納法 對於數列 我們設乙個數列 它滿足 很顯然，我們可以得到 以及 這裡...
數列 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1 的通項公式是多少呢？
這個數列的最小正週期是 所以它顯然滿足遞推關係 這是乙個四階常係數線性遞推數列 高階常係數線性遞推數列通用解法可見 斐波那契數列通項推導過程中憑什麼定理斷定它能寫成兩個等比數列的和？對於遞推數列 其中 是常數，這是乙個k階常係數齊次線性遞推數列如果其特徵根 兩兩互不相等 無重根 的情況下可以證明，對...
怎麼用特徵根法和不動點法求數列的通項公式
已重置 清理草稿箱 這種問題應該直接查閱肯尼斯 羅森 Kenneth Rosen 離散數學及其應用 第七章 高階計數技術。 cvgmt 如果把一大堆大學數學搬出來，正好顯示我們沒有對數學有個人理解。其實就是找特解 例如斐波那契數列數列 我們去找乙個特殊形式的解，最簡單就是等比數列，於是試一試代入發現...