1樓：買女孩的小男孩
待定係數法，設ax＋bx＋cx＋d，n的和的通項一定是個3次式。
1次式（n）的和是2次式，2次式（n）的和是3次式，3次式（n)的和是4次式。
這個思想在高中數列中很實用（可以理解為牛頓-萊布尼茲公式。）
2樓：博學多聞
看到諸位大佬都用巧妙的代數變形完成證明，我在這裡就寫一種通俗易懂的通過幾何的角度的證明，並將其收錄進專欄「Proofs without Words」中。
Proofs without Words
回到原題，如圖所示：
這便完成了 的證明。
3樓：Eric
之前看到的，還挺有意思。補充一下質心座標位於正三角形中心的證明（雖然是顯然的。。）
考慮反證法：若質心不位於中心，將原圖形旋轉120度後，質心位置發生改變。又因為前後圖形全等，則質心位置不變，故矛盾。所以質心位於中心。
4樓：非羆
如果通項是關於n的k次多項式，則前n項和是關於n的k+1次多項式。
例如，若通項是 an+bn+c，則S(n)具有形式 An+Bn+Cn+D。這很容易理解：在此形式下S(n)-S(n-1)展開是乙個二次多項式，其係數由ABC三個未知數的線性組合表達，對比通項的三個已知係數abc，恰能解出一組ABC。
這就是說，我們一定可以找到乙個常數項D為任意值的三次多項式，其差分恰為給定的二次通項。再加上S(1)=a(1)的邊界條件，就可以確定常數項D。這實際上就證明了和式是高一次的多項式。
而常數項D可以證明它為0，因為第一項a(1)=S(1)-S(0)，故S(0)必須等於0，才有S(1)=a(1)。實操的時候通常不採用對比係數的方法求解，只要用待定係數法列舉前幾項的和就可以了。
回到本題，對數列n求和，S(n)=An+Bn+Cn，根據S1=1,S2=5,S3=14解得 A,B,C為1/3,1/2,1/6。
再舉個例子，數列n(n+1)求和，S(n)=An+Bn+Cn，根據S1=2,S2=8,S3=20 解得 A,B,C為1/3,1,2/3。
對數列n求和也是一樣的，它將會是某個常數項為0的四次多項式。
5樓：誰的Baker街boy
用乙個已有結論，記一下以前看過華羅庚的《從楊輝三角談起》中用到的結論。
首先有楊輝三角形係數歸納得到的結論：
那麼再加一項就有：
那麼另r=1,2,3有不同結論，這裡把r=1和2，那麼有：
那麼可以利用上述式子通過減法得到：
6樓：幼聊
可以用裂項法
《最優解》
注意到：
所以順便說一句， @Perplexboy 大佬的解法非常有意思，可以進行乙個沒什麼卵用的推廣
置 ，不難確認 的結果是乙個 次的多項式
設 代入幾個特殊值看看？
方程組有解，則依 法則有： ，其中
所以 至此，這個沒卵用的推廣就結束了
下次再也不打腫臉充胖子玩什麼線性代數了，
7樓：Perplexboy
記， 則有
， ， 得到
得到特徵方程為
即於是解得
因此可設
其中 ， ， ， 為常數。注意到
於是不難解得
因此最終得到
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