1樓：
sin(x)是奇函式，cos(x)是偶函式。於是這倆函式，和指數函式 相比，他倆的n階(order)麥克勞林展開都有n/2的項是0，而e^x的麥克勞林展開沒有這個性質。
對於能被泰勒展開的以x為自變數的一元函式，其泰勒展開式的展開部分是個多項式，這個多項式是關於x的若干階(degree，有時也翻譯成"次")單項式的疊加（ 就是個單項式（2次項）， 也是個單項式（3次項） 就是個3次多項式，包含2次項和3次項兩個項。）。
麥克勞林展開是在0點處的泰勒展開。
由於sin(x)是個奇函式，它的麥克勞林展開式中，0次項、2次項、4次項、（所有偶數階項），都（鐵定）是0，於是你這截屏裡考慮sin(x)的n階泰勒展開時，他考慮的實際上是2n階泰勒展開（這樣去掉n個為0的項，還能剩n個項）。
同理，cos(x)是個偶函式，它的麥克勞林展開式中，1次項、3次項、5次項、（所有奇數階項）都（鐵定）是0，於是你這截屏裡考慮sin(x)的n階泰勒展開時，他考慮的實際上是2n+1階泰勒展開。
於是展開階數不一樣了，自然餘項就不一樣了唄sin(x)的餘項就是2n+1階，cos(x)的餘項就是2n+1+1階。
你只要這麼展開了，不管餘項是拉格朗日還是佩亞諾，都是關於x的2n+1次函式/關於x的2n+1+1次函式。
這本書如果之前沒講清楚這一點，就直接這麼編了，真TM誤人子弟。
這道題用尤拉麥克勞林公式怎麼做？
皆非 其實這道題的題源可以追溯到第八屆全國大學生數學競賽 非數學類 初試第四大題 設函式 在閉區間 上具有連續導數，證明 如果熟悉定積分的定義便很容易看出當 時，括號內的極限值為 而此題即為求 型的極限問題。下面我抄一下這道競賽題的解答步驟 這時再回頭觀察上面那題，不難想到可取 這樣其實也能做得出來...
任何函式都可以用麥克勞林公式展開嗎，在任意階可導的情況下？
Sirin 可以，但是對於上乙個回答其實也可以展開 我們知道 把 代入，就可以得到 是乙個次數都為負的級數，易見它在0處極限不存在。這時稱這個級數為洛朗 Laurent 級數 從上面的例子可以看出來，洛朗級數算是泰勒級數的乙個延拓，使之在未定義的點 稱為奇點 可以展開成乙個冪級數。我們都知道乙個重要...
如何推導數列n 的前n項和？
買女孩的小男孩 待定係數法，設ax bx cx d，n的和的通項一定是個3次式。1次式 n 的和是2次式，2次式 n 的和是3次式，3次式 n 的和是4次式。這個思想在高中數列中很實用 可以理解為牛頓 萊布尼茲公式。 博學多聞 看到諸位大佬都用巧妙的代數變形完成證明，我在這裡就寫一種通俗易懂的通過幾...