1樓：Rikka612
這裡試著用高中知識推導數列 的求和。
我們都知道， 。從而
也就是稱 (*) 式。
又有 也就是
稍作變形有
此處把 (*) 式帶入即得
相信到這裡大家都知道怎麼做了。
2樓：思與行
顯然1^2 2^2 3^2 4^2……n^2是二階等差數列，故其通項公式為關於n的二次多項式，前n項和公式為關於n的三次多項式，然後就……待定係數法求係數就好了
3樓：HONGDA
首先觀察項中的代數項，也就是非數字項，一般顯示為省略號後面的。這種伸縮項就決定了這一些列數字的末端。
那麼這裡把它排列出來：
在這裡取出末尾兩項來分析。
因為原式子裡就是把它們相加，所以這裡就把兩個函式相加得：
這個式子好像很陌生，沒見過。又有二次項，又有一次項。
那麼我們就先保留這個思路去看看每一項次數為一時按照這個方法得到什麼。
同樣取出最後兩項並相加可得：
這個好像完全平方公式得展開項的一部分。
於是我們引入那一條公式：
在此處我們發現符號不一樣，於是可以對①式進行換號得：
然後我們已知 如果代入用這個公式來湊有一項是1。
即：發現只要加上 就行了。
於是有在此處研究了一次項得變形，那麼二次是否能為三次按照相同得規律變換而來呢？
發現這與 得式子格式幾乎一致。
然後我們嘗試著對於每一項該式子是否正確。
而對於上述兩式均減去 剛好為正確的每兩項相加。
所以有把這兩個求和項展開得：
最後得到：
所以有：
繼續展開可得：
整理得：
這裡沒有問 的和，就預設這個是已知條件。
把這個代入得：
移項得：
合併得：
然後再因式分解得：即得:
4樓：石川五恵
發乙個高中時候學霸同桌的解法
考慮這樣的一幅圖
大矩形的面積為
正方形面積之和為 記為
小矩形面積之和為1+(1+2)+(1+2+3)+...+(1+2+3+...+n-1)也就是
於是我們得到了
化簡後得到
5樓：
金字塔映象法是最簡單的。
不妨設想有這麼乙個金字塔，第1行只有乙個數1；第2行只有兩個數2和2，以此類推到第n行，得到乙個三角形的金字塔。
然後將這個塔翻轉兩次，每一次都是120度，每一次得到乙個新的金字塔，成為「映象」，然後把這兩次得到的映象與原像全加起來，然後你就會發現每一項原來就是2n+1。
由於是三個一樣的三角金字塔一起加起來的，所以說原來的那個像裡每乙個數都應該是(2n+1)/3，再利用熟知的平方和求解公式就得到了。
同樣的也可以推導到立方和，只不過就不是太好想，它的缺點是對於更高維度不直觀，沒法想了。
6樓：蕭浪涔6
給個非常不嚴謹的證明
令1+2+...+n＝f(n)
對f(n)求導得f′(n)2(1+2+...+n)＝n(n+1)＝n+n
再對f′(n)積分，即∫f′(n)dn＝1/3n+1/2n+C＝f(n)
然後n=1時，f(n)=1此時C=1/6
n＝2時，f(n)＝5此時C＝1/3
n＝3時，f(n)＝14此時C等於1/2
以此類推，猜測C＝1/6n
因此f(n)＝1/3n+1/2n+1/6n＝2n+3n+n/6＝n(n+1)(2n+1)/6
7樓：Orion
這裡給出乙個相當初等的做法。
如果我們記 為：
首先我們知道:
然後：現在來推導 ，顯然由定義：
將 理解成兩個2， 理解成3個3，以此類推，上式可以寫成：
上式的每一項都是我們已知的，只要能將 化簡就能計算了。我們將 的每一項都列出來：
對上面的項求和，得到的結果可以寫成：
注意到 ，有：
再把 帶進去，得到：
回頭看一下，其實這種方法可以向任意 擴充套件的，事實上，其中， 是關於n的k次多項式 的係數，即：
具體的解答見我的另一篇文章：
8樓：emmmm
∵n＝n［n（n＋1）－1］＝n（n＋1）－n
∴原式＝n（n＋1）（n＋2）/3－n（n＋1）/2＝n（n＋1）（2n＋1）/6
9樓：不會起名字
也可以用拉格朗日插值隨便找4個n算出對應的值然後應用拉格朗日插值算出擬合函式
這種方法可以推廣到任意次方前提是能證明公式是個多項式函式
10樓：誘宵美9
看到前面那麼多做法我也答乙個吧
其實這個用Abel恒等式也能解決，這是乙個恒等變換。
Prove:
這裡有兩種處理方式（就是考慮 是怎麼拆的）
11樓：
已知：數列如下
1，1，1，1，1……1
其前n項的和，新組數列如下
1，2，3，4，5……n
其前n項的和，新組數列如下
1，3，6，10，15……n(n+1)/2其前n項的和，新組數列如下
1，4，10，20，35……n(n+1)(n+2)/6關鍵數列
取出關鍵數列奇數項，新組數列如下
1，10，35，84……n(n+1)(n+2)/61，1+9，1+9+25，1+9+25+49……n(n+1)(n+2)/6
取出關鍵數列偶數項，新組數列如下
4，20，56，120……n(n+1)(n+2)/64，4+16，4+16+36，4+16+36+64……n(n+1)(n+2)/6
以上1*1+2*2+3*3+4*4+5*5+6*6……n*n=1*1+3*3+5*5……+
2*2+4*4+6*6……=
n(n+1)(n+2)/6+(n-1)(n-1+1)(n-1+2)/6=
(n(n+1)(n+2)+n(n-1)(n+1))/6=(nnn+3nn+2n+nnn-n)/6=貌似沒說清楚，再努力一下，把兩列關鍵數列前一數列，錯位相加1，3，6，10，15，21……n(n+1)/20，1，3，6，10，15……(n-1)(n-1+1)/21，4，9，16，25，36……n(n+1)/2+n(n-1)/2所以
12樓：田鎮南
怎麼說呢，有些普適的方法很好。很多回答寫了，我也就不贅述了。
不過如果限於二次的話。還有一些更秒殺的方法，比如分成奇項和與偶項和，由n的三角形分拆和滾雪球可知，二者較小的必然為C(n+1,3)，較大的為C(n+2,3)，合併二者即為所求。
又或者所有項×4後直接按偶項處理，直接得到答案是C(2n+2,3)÷4，亦結束。
13樓：AoPop
根據高中的組合數知識知道：
組合數 （記作 ）是對 的求次前 項和的結果。
又 於是
同樣的拓展到立方和公式：
因為於是
甚至可以用此法證明一些證明題：
比如命題：（ ）總能被6整除
除了數學歸納法外，由於
所以顯然命題成立。
14樓：wonderwind
法一：猜想-歸納-證明的方法
解：通過以前的經驗可以發現，若通項公式為n次，則求和公式是n+1次。現在
設 計算得 ,代入上面的式子，得
解得 於是因式分解後得到結論：
然後再用數學歸納法證明，步驟從略。
法2：利用
再用累加法得到結論，這個已經很多人提到過了，在此從略。
法3：使用物理方法：
想象乙個平面直角座標系，在x是正整數的地方按規律放上質點：在x=k時放k個，這k個的間隔為1，且重心在x軸上。例如在（1，0）、（2， ）、（2， ）、（3， 和0和 ）……放上質點。
k取1，2，……，n
這樣構成了乙個正三角形的質點陣。我們用兩種方法計算質點陣關於Y軸的力矩：
方法一：總質量為 ,重心橫座標為 = ,乘積為公式右側；
方法二：和力矩等於分力矩之和。x=k時，這一列質點總質量為k,對Y軸距離為k，這一列對Y軸力矩為k^2 ,於是總力矩為公式左端。
兩種演算法的結果當然是一樣的，於是得證。
法4（純屬搞笑且不一定嚴謹）：
很多數學分析教材的導論部分會考慮拋物線下面積的問題，例如，函式 在[0,1]上的定積分。方法是無限分割成矩形後求和
把[0,1]分成n等份，則第i份，即分出的第i個矩形中軸線橫座標為i/n,寬 ,高為 ,故整個曲線下面積為
按理說下一步是利用二次冪和公式求分子的和，再取n的極限，得到結論 ，但是我們現在正要推導二次冪和公式，不能這樣做。
但是想得到結論 不止這一種方法。直接利用微積分基本定理也可得到結論，而且由於微積分基本定理是可以用微分中值定理推出的，並未構成迴圈論證。
然後我們就知道了 的最高次項為 ,再用法1的方法得出結果，且免去了使用數歸證明的那一步。
事實上，用同樣的方法，對在[0,1]上的定積分算兩遍，可得到
15樓：SilverBeet
那些高大上的，我們不說了，說乙個比較簡單和通用的。換句話說，求和就是求S(n)，也就是已知a(n)，求S(n)，顯然，S(n)-S(n-1)=a(n)=n，用這個做差分方程，就能很快解出S(n)，這個是通法。
下面先介紹一階常係數非齊次線性差分方程的解法。差分方程，不神秘，是微分方程在dx=1時的特殊情況。高中的時候，叫做數列。
根據上面的定義和解法，我們依葫蘆畫瓢就可以了。
這種解法，高中生也可以理解的。
這個方法你也可以繼續去遞推，去求解通項公式為n的k次冪的S(n)，那所要改變的就是後面的這個待定係數矩陣了，恐怕是乙個很大的方陣，然後用線性代數的方法去遞推，應該會包含很多組合數，因為中間(n+1)的k次冪，計算比較複雜，有時間再寫出來。
16樓：
關聯一下我在另外的地方的回答，高中時自己想到的方法，現在越看越low啊
有哪些自己發現並證明的並自以為得意的初等數學定理？
17樓：粘鍋大鹹魚
多年前看蔡神九階的時候
他講的乙個方法。。。不知道有沒有人提到過
大致是有乙個人去村子家娶媳婦，村長讓他求出石板上的數之和，就把女兒嫁給他。
他求不出來，又餓得老眼昏花了。。。於是就踢了石板一腳，石板轉了一圈，又踢了一腳，又轉了一圈。。。然後，他餓昏了嘛，就出現了重影。。。於是。。圖很醜
18樓：田子何
這個和可以看作是乙個用積木壘成的n層退台洋房的總建築面積或者層高為1的總體積。每層一戶大平層，戶型方正，邊長從一樓到頂樓分別是n, n-1, n-2...，1。
總建築面積也可以豎著加：天台面積為1，下壓n層；頂樓戶型的L型陽台面積為3，下壓n-1層；...；二樓戶型的L型陽台為2n-1，下壓1層。
所以總體積= 1*n +3*（n-12n-1）*1。
以上求和的通項公式為(2x-1)(n+1-x),可以劈成三部分：第一部分是-2x^2，各項加起來等於負兩倍的原求和；第二部分是（2n+3）x，加起來等於(2n+3)[n(n+1)/2]；第三部分是-(n+1)，加起來等於-n(n+1)。
把負的兩倍原和挪到左邊去，就成了：三倍原和等於(2n+3)[n(n+1)/2]-n(n+1) = n(n+1)(2n+1)/2，所以原和等於 n(n+1)(2n+1)/6。
1 2 n n n 1 2n 1 6和1 2 n 這種求和怎麼推導的？
Ethel 用降維打擊！以二次方求和為例，考慮 正所謂雙贏就是贏兩次，求和也要求兩次。這個級數如果寫成一行的話那就是 總之中間項都可以消掉，最右邊一項又是0，只剩下了 也就是我們再對 進行二項式展開再合併得到 也就是說 再將和號展開 其中 將其代入上面的式子，再化簡便可得到 以及更高次的求和也可以用...
有哪位大神會推導CG係數的公式啊？？
鄭大彤 CG係數實質上就是把耦合表象的基矢 用非耦合表象的基矢 展開 Psi m 1 Psi m 2 eeimg 1 中的展開係數 eeimg 1 即子空間中，耦合表象和非耦合表象基矢之間么正變換矩陣的矩陣元。如何計算CG係數？假設給定 和 則耦合成 先計算 態的展開式，只能由 構成，兩者可以相差乙...
萬有引力公式是怎麼推導的？
已登出 克卜勒定律，行星軌道是橢圓。半長軸的三次方比週期的二次方是定值。中學階段視橢圓為圓 則上述公式為 行星軌道是圓，半徑的三次方與週期的二次方的比值是定值，設定值為K。然後就變成勻圓模型。引力 向心力質量乘角速度的平方乘半徑 角速度等於二 除以週期 代入 引力 向心力等於四 的平方乘質量乘半徑除...