為什麼可以把無窮數列前n項的和當n無限增大時的極限定義為無窮數列的各項之和？

1樓：旅遊者

其他答主回答的都比較直觀，我就按我的理解相對抽象(盡可能具體)但更嚴謹地回答一下：

為什麼兩者之差為無窮小則兩者相等呢？這就涉及到實數的連續性了(雖然高數里沒講，但數分裡應該是在極限前就要說明的內容)

簡單來說，實數的連續性保證了實數集中間沒有「縫」，(這個概念可以對比有理數集的稠密性理解，雖然任意小長度不為0的區間裡都有有理數(稠密)，但有理數是有縫的，比如根號2)

那麼問題就很簡單了，用反證法，如果兩者不同，則兩者之差是個正實數，則「無窮小比它小」，矛盾，則兩者相等。

(更嚴謹的說明還是參見分析教材)

順便一提，「無窮」這個概念在現實中是不存在的，雖然大家都或多或少能理解一些。所以要說有什麼現實意義…我只能說數學是「結構實在」的，但不是「實在」的…不過也正是因為數學能夠跳脫出現實推廣，才有了很多侷限在現實中無法發現，但卻有現實意義的結論。

2樓：宋霄漢

級數，形式上指無窮多數的代數和，而級數問題最先要解決的問題就是級數的收斂和發散。關於嚴謹定義高數課本上也有，下面只是一些感性不嚴謹的描述。

首先要承認級數確實有收斂和發散兩種狀態，發散不多贅述，1+2+3+……就發散到正無窮(別跟我說是-1/12)。那麼收斂就是他能夠充分接近乙個數

隨手畫了一張圖，很直觀能意識到1/2 + 1/4 +1/8 +……無限接近於1。

無限接近就是要多接近有多接近，只要我n足夠的大，你讓我小於0.1 0.01 0.001 0.0000000000001都可以做到。

從極限的意義上，這兩個就相等了。

題主所說的認為加和是個過程是沒錯的，同時也要注意到前n項和的極限也是個過程。至於這個過程的結果到底是無窮大，是不存在，還是乙個數，就要通過極限的語言證明啦。

3樓：小森林

不是很明白答主的意思。我覺得無窮多項相加取極限和Sn(n->∞)沒有區別。只是用Sn

這個符號代替而已。

而且，也不是說無窮多項相加的和等於Sn的極限，而是n項相加的和(n->∞)等於Sn的的極限。n->∞本來也就是取極限的過程。

4樓：青山常在

你的感覺完全正確。錯的是課本，而不是你的感覺。

極限理論（特別是極限的運算法則、使用方法）是數學家們的強制規定。

1/2+1/4+1/8+1/16+... = 1 以及 0.999…… =1 是濫用極限理論的結果，而不是大自然的結果。

大自然的結果是 1/2+1/4+1/8+1/16+... < 1 以及 0.999…… < 1。

5樓：張德明

你理解的其實沒有問題。按我的理解，是因為人們研究問題的需要吧。正常來講，無窮多個數的和是一件無法理解的事對吧?

因為你不可能真的吧無窮多個數加起來。如果把前n項和的極限定義為無窮多個數的和，相當於認為它是連續的。其實嚴格來講我覺得這兩種當初成乙個概念有失嚴謹。

6樓：遊負都

求取極限的確是乙個動態的過程，而且在後來的學習中，如何趨近也會影響最終極限值的確定。

題主應該是不明白極限的定義。我主要回答關於極限定義的問題，理解了定義題主應該就能明白求解求和的極限可以是乙個確定的數。

以下是中國石油大學版本的高數書中對函式極限的定義（圖不太清楚見諒)，

ε的引入是求取和確定極限的關鍵，ε的意義在於，它表示f（x）和A的差值的大小（這裡的f（x）可以替換成乙個任意的式子，道理都一樣)，當二者差值小於乙個任意（小）的值ε時，即可定義A為該函式（或者某個式子)在特定趨近過程中所得的極限。

在這個趨近過程中，ε不變。也就是說，你可以直觀地感覺到，這一趨近過程不管是接近還是特別接近、極其接近，所有趨近過程中的每乙個不同的x（或者n），它們會導致不同結果的f（x）（或者Xn），但這些結果都有個乙個共性，那就是它們與A的距離都小於ε。

而且，由於這個ε可以取任何正數（意味著可以取無限小)，因此ε就可以最大程度地表現f（x）和A的接近。

你可以理解為，極限值也就是對這一趨近過程特點的表徵，即存在乙個定值使得這一變化過程到極致可以用量化的規律限制表述出來。

即使這個定值永遠不能真切地取到，但是由它表述的乙個規律可以在廣闊的範圍裡作用，我們可以利用它進行其他的計算，它就有了實在的意義。