為什麼實數可以用數列的極限表示？

1樓：圖騰

事實上，實數是為數軸所造出的理論模型。

直觀上，我們認為數軸是沒有破洞的。

所以我們在構造實數的時候，就讓它具有某種完備性，來描述我們心目中的數軸。

所以可以說，是因為構造如此，強行讓它完備的。

2樓：

我不太清楚你的問題具體是什麼，所以只好雜七雜八說一下個人體會，可能有不準確之處僅供參考。

記得以前小學課本是這麼講的，實數可以分為整數，小數。小數又有有限和無限。無限又有迴圈和不迴圈。

當然，這樣的劃分並非本質。比如，有限小數和無限迴圈小數其實都是有理數，可以寫為，分子分母為互素整數，分母非0。乙個有理數能否在十進位制下寫為有限小數，主要看該分母是否僅包含2和5的冪次。

所以我們可以看到，所有的有理數結構都是很簡單的，乙個分子，乙個分母而已。

對於無限不迴圈小數來說，它又叫無理數，其結構更加複雜。事實上，對於大多數無理數，沒有辦法用有限的文字描述它。像這些反而是例外。

我們在日常生活中即便完全忽略無理數，不管買菜還是買樓，不會有什麼問題。但是這樣的一種算術系統多少會顯得有些不夠完美。比如說，數軸上到處都是空洞。

是否能夠用我們熟悉的有理數，來構建出整個實數的大廈？

我們可以假設，存在某種演算法，能夠確定任意乙個實數的小數點後的前n位(假定十進位制)。那麼，通過這個演算法，就可以把乙個實數對應到乙個序列的極限。比如，對於而言，有這個序列裡的每一項都是有理數，然而它的極限不是有理數。

這裡其實還有乙個有趣的問題。我們怎樣定義收斂呢？當n足夠大，可以任意小。

然而注意到，這種定義預先假定了這個外在的物件。即使我把整個數列都給你，你又不知道是什麼，如何判斷？這時就會很自然的引入「柯西列」的概念。

所謂柯西列，是基於序列本身的乙個定義，不依賴於外在的物件。簡單地說，柯西列就是講，只要n足夠大，它後面的任意兩項差的絕對值都可以足夠小。對於上述的例子來說，當然這是對的，因為序列中差的絕對值總小於 , 取某個合適的值。

實數的基本性質之一是完備性，指的是柯西列都收斂。乙個柯西列收斂到的極限，就是其對應的實數。泛函分析中，度量空間的完備化，也是通過相似的構造方法。