1樓：beanandbean
函式極限的存在性到數列極限的存在性並非完全等價，但在很多時候可以相互轉化。先列舉結論如下：（這裡假定 為一 函式， 為集合 上一無限序列，且對於任一自然數 ，有 ，其中 不一定為實數集的子集，也可是其他拓撲空間，比如二維平面 上的點集）
若函式極限 存在，則數列 也收斂，且其極限也為 。
若數列極限 存在，那麼函式 在 時不一定存在，但若函式極限 也存在，則其必定也為 。
要驗證上述結論，我們顯然只需先證明命題：若 ，則 。
證明：考慮 的任意開鄰域 ，則根據函式極限定義有 滿足對於所有實數 x_0" eeimg="1"/>， 。現在，根據阿基公尺德公理，必然存在自然數 x_0" eeimg="1"/>，因此對於任一自然數 N" eeimg="1"/>，我們也有 x_0" eeimg="1"/>，因此 。
根據數列極限的定義， 。
（此處考慮 為任意拓撲空間，因此使用了拓撲空間上極限的定義。若只考慮實數集的特殊情況，可將上述「任意開鄰域 」直接理解為「任意形如 的開區間，其中 0" eeimg="1"/>」。
同時，我們考慮顯然反例：令 ，則對於任一自然數 我們有 。數列極限 存在，但是函式極限 卻不存在。
上述結論作用在實際數列極限問題中，即有如下操作：若可說明函式極限存在，則對應數列的極限必定存在且必為函式極限的值；但若無法說明函式極限存在，或者函式極限明確不存在，則並不能依此得出數列極限不存在的結論——這種情況下依然需要用處理數列的原本方法單獨考察數列極限是否存在。
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