1樓：陶澤軒
對於黎曼可積的曲線 《可證明》其用曲邊梯形求和取極限就是原曲線的面積，so
不嚴格的說其曲邊梯形構成的內接多邊形在取極限後所得到的圖形與原圖形重合那麼曲線的的長度就是內接多邊形取極限後圖形的邊長那麼定義也就容易理解了《這只是人的理解不算做證明》
2樓：林光爵
定義弧長，必須有適當的上下界夾擠。一數值若只有下界，無上界夾擠，則取值很心虛。我們用折線近似曲線 ，折線長永遠小於弧長。
我們需要某物，其長度永遠大於弧長。這樣才能用上夾擠法：
折線長度較小 … 弧長居中 … 某物長度較大
讓我們畫乙個圓，畫一條垂直線與它相切，再從圓心出發，畫一條45度線。當線穿過圓時，和圓是相垂直的，當線穿出圓，它會撞上垂直線。
擦掉圓，只關注0度到45度這一段圓弧，想像0度位置的點P不動，把45度位置的那一點Q朝外推，企圖把弧朝外壓直。在壓的時後，我們看到Q的移動不會穿越那條45度直線，所以最後壓直的圓弧Q點在直線交點下方。也就是弧長小於截線段長度。
推廣來說，一弧的兩端點P,Q，做P的切線，它會被Q的垂線截斷。在視覺經驗上，此線段長度大於弧線長，這正是我們要的。
折線長度較小 … 弧長居中 … 切線截斷長度較大
這樣兩邊夾擠，就可以穩妥的定義弧長了。如果沒有上下夾擠，當數學家祖沖之在算圓周率時，他努力算圓內折線的長度，他怎麼知道現在精確度是多少呢?
另外有人故意發明碎形線，我們看看夾擠法的效果。碎形線是一串彎彎曲曲的折線。取線上兩點P,Q 。
兩點間拉一直線 。 PQ線段長度顯然小於其間的彎彎曲曲折線長。另一方面，畫出P點的切線，Q點的垂線能截斷它嗎？
有時能，有時不能，所以碎形線無穩妥的上下界夾擠，所以不能斬釘截鐵的說碎形線長度是多少。
3樓：Lion Yang
對曲線取極限，找每一段非常微小的線，個人覺得這本身都還是不難理解的。
奇怪的是「拉直」（求長度/距離）。
比如其中有一線段 a，從座標 (0, 0) 到 (1, 1)。
問題：你為什麼覺得它的長度等價於線段 b：(0, 0) 到 (0, √2) 的長度？
這裡面很直覺地使用了勾股定理 √(Δx + Δy)。這個簡單的平方和之平方根運算，是我們平時在空間內測量「距離」的根本。
「圓周率等於4」的故事了解一下。
如果把乙個圓看成大量極其細微的鋸齒狀邊緣的多邊形，不難想象，你可以把這些邊緣全部平移到上下左右四邊，就變成了乙個正方形。這種世界觀符合「棋盤距離」，這種設定裡兩點間距離則是：Δx + Δy。
這時上述 a 線段距離為 2，b 線段距離為 √2。在這種「世界觀」裡，a 與 b 距離不等，反而與線段 c 從 (0, 0) 到 (0, 2) 相等。
拉直（計算距離）的方法，稱之為度量。勾股定理算出來的是歐幾里德度量，或稱歐幾里德距離。度量組合上空間的定義，就有了度量空間。
符合我們現實生活的直觀理解的是就歐幾里德空間。這就是上文所謂的「世界觀」。
在不同的度量空間下，拉直的操作會有不同的效果。這種數學模型為測量距離創造了很多的可能性，所以總有人會問你「看你怎麼定義距離」。
自個兒想想為什麼「現實生活中」兩點之間距離一定得是用勾股定理吧，我上課去了
4樓：普通的穗乃果普通地搖
想在定義曲線長之前先數學地定義「拉直」，那你又會遇到新的問題：
如何證明剛剛在數學中定義的的「拉直」和現實中的「拉直」一樣？
無論如何，要在數學內部證明現實物件服從數學模型是不可能的。
我們唯一能做的，就是通過推理證明，把大量的這種「數學與現實的對應」問題，歸結成少數，易於通過物理實驗驗證，最好還符合直覺的幾個問題。
這也是歐幾里得的公理化的含義。
可以這樣考慮「拉直」曲線l：
連續對映f:l->R，滿足
|f(x)-f(y)|>=|x-y|，對任意l上的點x，y。
則稱f為曲線l的「拉直函式」。注意這樣的函式未必存在。
然後曲線長度就定義為所有「拉直函式」f中，|f(p)-f(q)|的下確界，其中p和q是曲線端點。這個定義需要「拉直函式」的存在。
如果曲線的傳統定義的長度存在，很容易證明這樣定義的長度也存在而且兩者相等。
也許這個定義對你來說更符合直覺…
證明留做習題（跑
5樓：李魚王
先回答沒有微積分的時候怎麼求曲線長度的問題：沒有微積分的時候絕大多數沒有物理實體的曲線是求不出精確長度的。
比如橢圓周長你可以求一求試試
那麼求不出具體長度怎麼辦呢？這種情況下，我們仍然希望求出他的大概長度，允許有少量的誤差，於是我們把他分成乙個個小段，每個小段近似是直線段。分段越細，這個誤差就越小。
當分段無限細的時候，誤差會無限小，就是微積分的方法。
6樓：
簡短的回答就是對於一般曲線，「拉直」這個操作不存在
詳細的講，當你談到「長度」這類度量結構時，一定不可以忘記支撐起該結構的變換群，這裡就是所謂歐氏運動群
如果你想知道一線段 的長度，最樸素也是最根本的想法就是拿 S 去和一根標準尺R 去比，也就是讓尺子 R 運動起來使其重合在 S 所在直線並將一端和 S 的一端 A 對齊，然後比較動尺 R' 的另一端 C 和 S 的另一端 B 的順序關係：如果 C 在 A 和 B 之間則 S 長於 R，否則 S 短於 R
自然，使用標準尺 R 可度量的物件 S 是有限制的——必須與動尺 R' 可構成重合關係。用群的語言來說就是：在歐氏運動群中必須存在唯一群元 f ，用 f 作用到 R 後得到 R' = f(R) 使得 S 重合於 R'
如果 S 是折線，那麼推廣是容易的，只需要做有限的若干次運動讓尺子 R 分別重合於 S 的組成線段，然後做有限的加法，這也就是題主所謂拉直
但是對於一般曲線 S，通常並不能找到有限個群元如 f1 f2 f3 來完成上述運動，使得 重合於 S，也就說拉不直。替代的想法則是，既然有限個運動做不到那就嘗試無窮個唄，看看能否讓這樣得到的 R' 無限貼近 S；這個思路也就是用極限來定義曲線長度
有興趣可以讀讀 數學（第三卷） (豆瓣) ，其中第十七章《抽象空間》講了不少關於變換與度量結構的問題，比如我摘的這段筆記：
《數學（第三卷）》的筆記-第121頁
7樓：Vicktore
這是乙個好問題。我能想到的原因是：因為把曲線長定義為折線長的上確界是和實際觀測結果相符的。
人們拿一些簡單的曲線，如圓或者拋物線去嘗試，發現用折線逼近的曲線定義得到的結果確實和用其他方式（比如用繩子量）得到的結果很接近，因此逐漸接受了這種定義方式。
有個值得注意的點：相比於曲線長的折現定義法，曲邊梯形面積的積分定義法要好解釋的多。為什麼？
因為你很容易接受【任何Darboux upper sum對應的圖形一定把曲邊梯形給'壓'在下面，而反過來任何Darboux lower sum對應的圖形則一定被曲邊梯形給壓住】這樣乙個現象。這是因為【若圖形A被包含於圖形B中，則A面積不大於B面積】這件事情實在是太顯然了。所以當darboux upper sum的下確界和darboux lower sum的上確界重合的時候，你沒有理由不相信這個待定義的曲邊梯形面積就是這個確界。
但是對於曲線長，就沒有這樣顯然的解釋。
8樓：企鵝叔叔
小學用曲化直，實際上只是為了便於操作。實際情況複雜得多。
首先實際中沒有理想曲線（沒有體積），所以對任何實體使用曲化直，都會因為物體的物理屬性形成誤差。
而數學中使用的微分法，其實也是曲化直。將曲線在每乙個微小段落「直化」成了直線，並且用數字精確描述了誤差。再通微分，讓這個誤差的極限成為0。
所以就「定義」了曲線啊。
之所以不理解，我認為題主還是沒有理解極限的含義。大一新生出現這種疑問也很正常。
建議從各方面去嘗試理解極限、無窮、連續這幾個概念。
9樓：
看到醬紫君大佬關注了問題，瑟瑟發抖。
決定了，匿名....
正文對於光滑曲線，分成幾段之後掰直，可以看到近似效果還是挺不錯的~所以無窮分割之後是符合直觀的。
然後轉化一下語言~得到微分形式的
和勾股定理差不多。這個等式的意思是這樣的，左邊的 是乙個不太好拆開的符號，理解成二維平凡流形上的乙個正定度規 的重新命名比較好。右邊就是簡單的度規在 標準座標基下的分解式 ， 是流形上的對偶向量場。
如果選取歐氏度規的話， ，就得到了開始的微分式了。然後要求長度的曲線 是乙個 光滑的對映就好。
這樣就有總長度
嘛這樣就容易理解了吧~【並沒有
10樓：程功
沒有微積分的時候是怎麼算曲線長呢？
祖沖之是怎麼估算 的？割圓啊。可見人們在沒有微積分的時候用的就是割線逼近的辦法。至於實際生活中大概是貼著曲線剪一段棉線再拉直了量吧。
這其實是個不小的問題。
什麼是 中的曲線？這裡我們可以理解為乙個連續對映 。
（注：這樣的定義不見得就是我們平時理解的曲線。因為通過這樣的定義我們實際上假設了曲線是可引數化的，但是很多我們感興趣的「曲線」是不可引數化的，比如著名的科赫曲線，不過這樣的曲線也往往不能求長。
）然後就是曲線的長，更一般的說，什麼樣的曲線是可求長的，什麼樣的是不可求長的。這個問題的答案就是 @竹生 回答裡的第乙個式子。注意這個上確界不見得是有限的，那麼對於上確界等於無限的情況我們就認為這段曲線是不可求長的，而如果這個上確界存在，就是可求長曲線。
乙個可能的誤解是按照這個定義，可能有人會認為一條直線就成了」不可求長「的曲線，這似乎是不確切的，因為我們直覺上認為直線應該是可以求長的，只是長度是無窮。這裡的理解錯誤在於我們以上定義的曲線 不可能是無界的：就是說 一定能被包裹在 中的乙個球內；原因是 的定義域 是乙個有界閉區間（緊集）。
這個定義的幾何意義也非常簡單：割線逼近，微積分的基本思想。
現在假設這個對映 是（分段）一階可微的，我們又可以有乙個定義：
可以證明在曲線（分段）一階可微的條件下，上式定義的長度與之前上確界定義的長度是一樣的：留做習題。哦，其實這裡還應該證明曲線長與引數化無關，但是顯然上確界的定義裡曲線長與引數選取無關，所以如果這裡能證明兩個長度是一樣的，自然也就說明了引數的選取是任意的。
現在回來要說你提的問題，把曲線拉直。」拉直曲線「這句話單獨是沒有意義的，但是要把它在數學上嚴格化就是個大問題了。我這裡提個更加貼近實際操作的問題：
如果在現實生活中有兩條繩子，其中一條繩子是細鋼絲做的，一條是麵條做的，你想把它們拉直了測長度。你覺得最後的測量結果裡那乙個的誤差大？為什麼？
這個問題就需要我們在數學上詳細的定義什麼是」把曲線拉直「以及為什麼」拉直「之後長度是一樣的，沒有拉長或者縮短。要把這個問題講清楚就不是一兩句話的事情了。
其實也是一句話的事情：(以下光滑性都假設至少 )
拉直就是從乙個一維黎曼子流形（曲線）到 中的一條直線（另乙個一維的黎曼子流形）的區域性等距同胚；既然是等距同胚自然曲線長一樣。
可這句話對大一的新生來說不等於沒有講嗎？
注1：這裡的同胚只可以是區域性的，因為要考慮到 使曲線基本群不為零的情況。但是只要有區域性等距同胚，積分所得的曲線長總是一樣的。
注2：為了方便這裡子流形就是一般的嵌入子流形，但這樣卻排除了曲線自交的情況。如果曲線有自交的話，這裡也許應該更一般的考慮帶cusp的浸入子流形（的光滑部分）和直線之間的區域性等距同胚。
帶奇點的幾何我就不熟悉了，但是只要是cusp的個數有限，那區域性等距同胚還是可以保證積分得到的長度是一樣的。直覺上應該有方法能通過把曲線嵌入乙個更高維的空間來處理cusp，就好像地上（2維）有一條 形狀的繩子，把它的一端拉起來就得到了乙個在三維空間裡不自交的曲線。
注3：我顯然已經說得太多了，而且感覺處理一條「一般」的繩子需要knot theory.
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圖騰 事實上，實數是為數軸所造出的理論模型。直觀上，我們認為數軸是沒有破洞的。所以我們在構造實數的時候，就讓它具有某種完備性，來描述我們心目中的數軸。所以可以說，是因為構造如此，強行讓它完備的。 我不太清楚你的問題具體是什麼，所以只好雜七雜八說一下個人體會，可能有不準確之處僅供參考。記得以前小學課本...
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