1樓：Rudin
賦範空間也是度量空間，所以極限的概念只需要在度量空間中定義一次就夠了。（有答主提到拓撲比度量更一般，不過此時我們不需要這一點）。
不過，賦範空間中定義了線性結構，所以有線性結果。比如，和的極限等於極限的和，這在一般度量空間中有點難辦，因為沒有定義什麼是和。
此外，賦範空間還有範數中還定義了範數（不太嚴格的說，可以視為點到0的距離）。
2樓：dhchen
的閉包恰好是 .
但是你同樣定義度量空間上的開球和閉球就沒有這個性質。舉個例子把，
我們在 定義離散度量： , 然後我們發現開球
, 你會發現閉球 顯然不是原開球的閉包。這個細微的區別在應用的是時候差別是不小的。
有人說，不對，你這樣定義的度量引導出來的拓撲和原來不一樣，所以才出現這個問題。好，我這樣定義
,你會發現這個度量引導出來的拓撲和一般實數空間是一樣的，因為區域性基是一樣的。 但是同樣的問題： 的閉包不是
這就是範數這個結構帶來的，這個結構很棒。
其實在單純定義極限這個問題上，度量就夠了。但是，如果範數這個結構會給你帶來很多漂亮的性質。這裡我就不具體展開了，為什麼我們要引入某個概念，因為這個概念能把某些性質分離出來方便我們研究。
3樓：孫鵬
引入空間，不是為了定義極限，而是研究不同的問題。
線性空間上才能賦範。線性空間是好的空間，有線性結構，以及相關的各種好的性質。
但並不是所有問題都可以放到線性空間裡研究。為了研究更廣泛的問題，就需要在更一般的空間裡定義距離，也就是度量，就有了度量空間，來描述點與點之間的關係。
當然，度量空間也不是萬能的。為了研究各種問題，就還要用到其他空間，比如一般的拓撲空間、測度空間、群、流形等等。
簡單的說，任何乙個賦範線性空間都自然的是乙個度量空間，範數自然定義的了乙個度量；任何乙個度量空間都自然的是乙個拓撲空間，度量自然定義了乙個拓撲。
為了研究問題的需要，乙個空間上可以有各種不同的結構使得它可以被同時看成各種空間。比如線性空間上也可以定義與範數無關的度量或拓撲；又比如實數空間，可以被看成是乙個域，或者是乙個賦範線性空間，甚至是Lebesgue測度空間等等，這些都分別代表了實數空間上各種不同的結構。
4樓：Khadgar
就我目前學到的知識，極限的核心並不是metric或是norm，而是topology。光要定義極限，乙個topological space就可以了。(我感覺極限有時可以作為除了開集語言之外描述拓撲的另一種語言...
)事實上搞出這兩種空間，主要是為了利用更多的性質。上面答主已經說好了。
5樓：勃努力
一般的拓撲空間沒有度量，也可以引入極限的概念，把數列推廣到net，用鄰域的包含關係來表示net的下標，從而定義net的極限。
6樓：
給乙個集合，定義一種結構之後，自然就可以去刻畫很多東西。但是有些定義會「更豐富」一些，賦範線性空間很自然的就可以被定義為乙個度量空間，它能刻畫比度量空間更多的東西。
內積空間：定義了內積的向量空間。它很自然的就可以被定義為乙個賦範線性空間。而且內積還使得我們可以去考慮其中元素的正交性問題。
可以看出，內積空間的性質更為豐富，其他兩個有的東西它都有。物理上應用的時候通常都是完備內積空間起步，相比之下度量空間的性質太單一了。
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