1樓：Heshawn
在乙個完備的度量空間中，「有界」這個條件是比較弱的，特別是考慮到無限維空間的情形時。
在有限維空間中，根據Weierstrass定理，我們甚至可以通過對不同維度的座標進行二分逐步確定聚點位置：你對區域的分割每加細一次，必然有乙個更小的小區域中含有無窮個點，選出這個小區域再做分割，你得到的區域「體積」總會趨近於零。
但這種針對「有界」區域的二分在無限維空間中會遇到麻煩——直觀的想象是：這無限個點可能恰好散落在了無窮個維度上，儘管他們距離原點的距離都可能很近，可是當你打算按照同樣的方法對他們進行分割時，你很有可能是在分割不同的維度。
然而，維度是無窮的，這也就是你永遠也找不到那個與有限維空間類似的「聚點」的原因。
@dhchen 在答案中已經給出了乙個l_2空間中最直觀的例子：
在任何乙個無窮維空間完備空間中，在單位球面的不同維度上取點，都能達到相同的效果。
我只是對這個例子進行一點更直觀的解釋，說明最初為什麼會有人這樣思考。
總之，「有界」這個條件並非我們在無限維空間內想要獲取收斂子列的有效前提，修正關鍵點在於：1、你不僅要把原序列在「距離」意義上控制住（即要求有界）；
2、而且還需要把它在「維數」的意義上控制住（即不能讓它在無限個維度上散得到處都是）。
同時滿足這兩條的條件，就是「完全有界」這個性質的由來。
2樓：yuyu
在 中，根據Bolzano-Weierstrass定理，我們知道每個有界的序列都有收斂的子列。可是仔細檢查 中Bolzano-Weierstrass定理的證明，我們發現這個定理依賴 的內在性質：
中有界的集合自動地是全有界（Totally bounded space）。
這個性質對一般的度量空間顯然不成立，比如在整數 上賦予離散度量 ，集合 是有界的但不是全有界的。因此要使得Bolzano-Weierstrass性質對一般的完備度量空間還成立，要將有界的序列換成全有界的序列。
3樓：dhchen
對於題主這個水平，乙個反例就夠了。設 設所有滿足 的數列 構成的完備度量空間，其中的度量為
。選取其中的單位列,也就是表示第n為1，其餘為0. 我們可以注意到構成乙個有界序列。但是對於任意不同的n和m，
。也就是說這個序列肯定不可能有收斂子串行。事實上，任何無限維的賦範線性空間都不滿足這個性質。更寬泛地說，任意區域性緊地(Hausdorff)拓撲向量空間都是有限維的。
但是，不是任意無限維地度量空間都不具有「任意有界序列必有收斂子列」這個性質，比如「常見」的兩個空間和 作為乙個Frechet空間（也就是說他們至少是完備度量空間），它就滿足任意有界序列都有收斂子串行。當然了，這樣也側面說明了這個兩個空間不可賦範。
4樓：
若完備度量空間E的任意有界序列，有收斂子列，那麼E的單位閉集是緊集。當E是Banach空間(完備線性賦範空間)時，單位閉集是緊集這一條件，和E是有限維空間等價。所以換句話說，對無限維Banach空間，這一性質是不成立的。
5樓：laogan
無窮維的Banach空間（當然是完備度量空間了）必存在一列單位向量，使得其任何子列均不收斂，這在任何一本標準的泛函書上都有，是RIESZ引理的推論（例如可見江澤堅孫善利汎函分析第一章的習題） 當然或許更直接的例子可見
度量空間中的每個柯西數列在其中收斂的意思是指這個序列的收斂點在該度量空間內嗎？
殺死數學 瀉藥那要看你的度量空間是否完備 繼續讀你就知道是可以構造並存在有理點列收斂於乙個無理數的。所以有理點集並不是完備的。所以度量空間中每個柯西列其收斂點是否在其中，就與所在度量空間是否完備有關 這東西你要看看實變函式就清楚了。現在很多版本的數學書為了顯示出逼格，硬是把現代的數學理論套到數學分析...
在度量空間完備的情況下，是否存在發散的柯西列？
奶油煎蛋紅燒肉 完備空間的定義就要求所有柯西列收斂呀。 李狗嗨 這個題目本身就有問題。完備空間和柯西列定義如下 在數學分析中，完備空間又稱完備度量空間或稱柯西空間 Cauchy space 如果乙個度量空間 中的所有柯西序列都收斂在該空間 中的一點，則稱該空間 為完備空間。1 在數學中，柯西序列 柯...
是否存在唯一的概率分布使度量空間中的點集的平均距離最大？
理呆哥 算是一點思考，並非回答 我能答的話就不問了。定義在 上的所有概率分布函式構成了 中的凸集 在 上可導。如果 在 上是凹的，那麼當然 有唯一最大值了。有定理 是 上的凹函式，當且僅當 這意味著要證明 其中 是任意兩個分布之差，顯然滿足約束 對於式 1 我們也可以直接從凸凹性定義推出來。我做了如...