1樓：數學愛好者
對於一般的拓撲空間這些結論可能不成立吧. 如果加上第一可數的條件, 那麼它們是成立的, 下面是我寫的證明, 希望沒有問題.
定義1.乙個拓撲空間 稱為是第一可數的, 若它的每一點都有可數的鄰域基. 也就是說, 對於 中的每一點 , 都有 的一族可數的鄰域 使得對於 的每乙個鄰域 都存在 使得 包含於 .
問題1.設 是一(第一可數)拓撲空間, 為一非空集合.記 為 的導集, 為 上一點, 是否一定存在乙個 中的序列 使得 ?
答:存在, 證明如下. 由於 是第一可數的, 存在 的一組可數鄰域使得對於 的每一鄰域 都存在 使得 . 又由於 , 因此對於 的任意開集 , 有
特別地,
對所有 成立. 取 , 那麼 對所有 成立. 我們斷言 . 事實上, 對於任意包含 的開集, 根據假設存在 使得 , 那麼 對所有 成立. 這就證明了我們的斷言.
問題2.設 是一(第一可數)拓撲空間, 為一非空集合, 若對於 中任意收斂序列 均有 屬於 , 是否說明 是閉集?
答:是. 為此, 我們證明 是開集, 或者說對於任意 , 存在 在 中的鄰域 使得 . 採用反證法, 假設存在 使得對於 在 中的任意鄰域都有 . 那麼,
對所有 成立. 取 , 那麼採用與前面相同的論據我們得到 . 也就是說, 我們構造了 中的乙個序列 它的極限 不屬於 , 與已知矛盾. 因此 是開集.
問題3.設 是為(第一可數)拓撲空間, 滿足對任意 , 均有 , 是否說明 在 點連續?
答:是, 證明如下. 任取 中的閉集 , 令 是它在 下的逆像, 我們來證明 是閉集.
根據問題2, 我們只需證明對於 中任意收斂序列 均有 . 為此, 令 . 那麼, 根據已知條件有 .
由於 並且 是閉集, 根據問題1有 , 也就是說 .
數學愛好者：第二可數空間和度量空間序列緊與拓撲緊等價性的證明
2樓：鍵山怜奈
不是的，一般拓撲空間由網收斂唯一決定
反例都是實數上的補可數拓撲，因為補可數拓撲中只有以常數結尾的列收斂。
題目中的3個命題，把列收斂全部改成網收斂，那麼就是等價的條件。
當且僅當存在 的網使得 .
是閉集當且僅當對於每個其上的收斂網總有 .
連續當且僅當對於每個 都有 .
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鍵山令奈：點集拓撲(入門)的三種語言
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