1樓：理呆哥
算是一點思考，並非回答（我能答的話就不問了。。。）
定義在 上的所有概率分布函式構成了 中的凸集 。 在 上可導。如果 在 上是凹的，那麼當然 有唯一最大值了。有定理：
是 上的凹函式，當且僅當
這意味著要證明
其中 是任意兩個分布之差，顯然滿足約束 , 。對於式(1)我們也可以直接從凸凹性定義推出來。
我做了如下觀察：
式(1)在 只有兩個點（ ）或三個點（ ）的時候是容易證明的。比如 時
。相應的距離矩陣
可以設分布之差 滿足上述約束。因為 ，故這三個分量之中要麼有乙個大於等於零，同時另兩個小於等於零；或有乙個小於等於零，另兩個大於等於零。不失一般性，設 。
這樣在二次型 的各項之中（注意距離函式 的非負性和對稱性），
而 並且
然後我們利用距離函式的三角不等式放縮那個非負項，
於是這種情況下式(1)成立，任取 亦同理。所以在時 是 的凹函式，有唯一最大值。 時，這個結論顯而易見。注意，這裡我只用了這個約束，另一條約束並沒有用到。
那麼 呢？我覺得證明了 就能推到任意 了。
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