1樓：宛在水中坻
只論證存在性問題不大。
a的b次方=b的a次方，兩邊取對數。
blna=alnb，lna/lnb=a/b，lna /a=lnb /b
取f(x)=lnx，則A（a,lna）與B（b,lnb）為f(x)上兩點
記原點為O，則顯然，OA，OB在一條直線。
原問題即轉換為是否存在正比例函式g(x)=kx，使得f與g存在兩個交點，即f-g有兩個交點。
當k取(0，1)時，顯然f與g在（0，1）內有交點，而當x＞1/k時，f-g的導函式＜0，所以單調遞減，而x=1/k時，f-g＞0，因此可以預期x=c＞1/k時，f-g=0。
此時，考慮到x趨於無窮時f-g的結果為負無窮，那麼f-g顯然是存在另乙個零點。
或者考慮到f-g的導函式的單調性，導函式單調遞減，且在某一點M後（可以求，但我懶得寫）＜-1/2k，因此f-g的函式在該點M後的部分應落在h(x)-(1/2)kx+d下方，d為一正常數。h顯然是會＜0的，因此f-g也會，因此有兩個交點。
非負整數集合的任意子集都存在最小的整數，如何證明？
MAN a AN，構造B 易知B是有限集，設其元素數量為 則集合A中比a小的元素數量為 1 有窮 個，故A存在最小值。最小值為 將集合A的元素按從小到大順序排列 從a開始往前數第 個元素。證明另一種情況存在最大值，就構造B 則B也是有窮集，即A中比a大的元素數量有窮。 乙個可行的方式是使用實數的確界...
對於任意正整數n，是否一定存在正整數a,p,b,q，p,q 1,b 1，滿足n a p b q？
嘗試用Mathematica來搜尋，先只考察底數在 以內 指數在 以內的全體方冪數 A Table a b,Flatten 對A裡面的方冪數兩兩作差 B DeleteCases Flatten Table If a b 0,0 1 0 DD B 3 Flatten Union 由此可以很快的搜尋出一...
是否存在乙個正整數集S，使得每個正整數都可以唯一表示成S中兩個數的差？
可以的。我們可以遞推的構造。S N 是乙個有限的正整數集合，T N 是S N中兩不同元素差組成的集合，滿足 1 S N中任何兩個元素差不同 2 T包含 但不包含N 1.因為S N有限，所以 T有限。存在正整數M 大於T中所有元素。記A為S N中最大的元素。令S S N 記T 為S 中兩個數差的集合。...