1樓：小明
如果題主有學過中值定理那就好理解了。
拉格朗日中值定理：
如果 在[a, b]連續，在(a, b)內可導，那麼存在 使得 成立
既然懂得中值定理，那麼類似的，對於定積分我們有：
如果 在[a, b]連續，在(a, b)內可導，那麼存在 使得
對比一下，我們就會發現乙個有趣的等式
當然這裡不算嚴格證明，不過我們可以作一定的說明：中值定理中 的約束條件是區間大小和函式，那麼既然函式和區間都一樣，那麼我們可以「放心」的說 都是一樣的，最後的等式會成立。
另外定積分不是表示面積，而是表示面積和(黎曼和)：
意思是把區間[a, b]豎著劃分n個子區間，每乙個區間面積的寬都是 ( 也是)，長就用區間左端點的值 。然後f在區間[a,b]的定積分就是這麼多個子區間面積的和。
那麼換成導數的定積分意義，我們就可以看成斜率乘上子區間寬度的和：
靈魂畫圖
於是我們就有：
其中 就是面積和的寬，斜率就是長。那麼計算「斜率面積和」：
其中 就是我們區間的右端點b和左端點a。(這裡應該算是定義證明了...例外要補充一些連續性，可導性的證明)
曲面積分為什麼區分上下側？
人仁韌忍 上下側只是在將左邊的曲面積分轉化為二重積分時的正負號選取，推薦看一下B站上湯家鳳老師的課程，很詳細。我也是聽了他的課才懂的。 0 三維空間 本身是可定向的。1 曲面作為 的二維子流形，同樣分 可定向 和 不可定向 兩種。對於不可定向的曲面 比如莫比烏斯環 你就沒法區分 上下側 ps 對於不...
為什麼算曲邊梯形面積用微積分是先算原函式然後代入相減？
如果把乙個函式比作每日流水賬，記錄每日淨結餘。它的原函式相當於記錄你的總資產。想知道你這個月賺了多少，拿你月末的總資產減去月初的總資產就行了。對於簡單的階梯狀函式，可以簡單把每日淨結餘加起來，但對於能夠簡單計算出原函式的，顯然做差方便，而對於原函式也寫不出來的，那只能數值方法，估計每日每小時每分的結...
定積分的乙個概念為什麼是這樣的呢？
商正則 第四行那個式子根本就是錯的。嚴謹的積分定義就不是取極限得來的，因為後面根本不是關於 的函式，你怎麼取極限？這要麼就是作者自己沒學明白要麼就是給非數學系看的沒必要講清楚糊弄過去就得了。數學系的把這書扔了吧，非數學系的不要想那麼多，會算就行了。 小霸天 這裡的dA可以想成乙個小a的面積。並不是直...