1樓：772177
定積分的幾何意義，是對於從a到b的x的無線分割，把x軸無限分割，取的就是x的微元dx。
你說的梯形，上下底應該指的是f（x）和f（x+△x），高就是△x，在無限分割時△x=dx→0，上下底相等，其實就是乙個矩形。
在曲線積分裡才有對弧長的積分，這時才會取微元ds。
2樓：請事斯語矣
因為極限定義，而不是矩陣近似。定積分也是一種極限。而因為極限所以，矩陣小長條的面積和在極限定義下，就等於所積分區域的面積。
3樓：原子筆
其實這個問題比較逗：面積的Jordan測度嚴格定義就是用的定積分。。我相信其它方式來定義平面面積也都繞不開定積分。
所以個人覺得：不是面積為什麼可以這麼算，而是（曲邊界）面積就得這樣來定義。
其實人類很多物理量的單位定義都是「直」的（例如長度用公尺，面積用平方公尺），但是實際使用的時候經常是可以把它用於「彎」的物理量（曲線的長度，曲線圍的面積，曲面的面積）,,,想清楚這些拓展如果不用極限不用定積分（切分後再對求和取極限都能轉成定積分），你能把這些物理量使用那些「直」的單位去度量麼？
4樓：
為什麼用矩形而不用梯形?
因為矩形法和梯形法的誤差都是o(1/n^2),差別只是係數不同.
論證如下:
其實比這兩者收斂速度更快的是拋物線法,達到o(1/n^4),平時工程應用中多用此法估計積分
同時也說明了,在這裡,無窮個無窮小,也可能還是無窮小.
為什麼旋轉體的側面積要用ds而不用基於dx的梯形法?
模型不同,dx承載的梯形並沒有用到他的斜高長度,思想的本質是用兩塊同等梯形湊成的矩形面積算長寬再除以2,
而ds是弧微分,直接算的就是梯形法中的斜高.
5樓：Caption Hasterd
這個問題呢，不知道題主現在積分學到了什麼地方。
黎曼定義下的定積分：
設某函式 在 上有定義。現在用任意方法在區間 上插入這樣的分點： , 並作和 , 這裡 .
我們用 來表示所有 中最大的那個。如果 滿足這樣的性質：存在這個數 ，對任意的 0" eeimg="1"/>, 都能找到 0" eeimg="1"/>, 使得只要 的時候，就有 ，我們就說 有極限 .
不同的分點的選取和 的選取，是可能影響到這個和的極限（以及存在）的。然而黎曼的定義正是說，如果無論分點怎麼選取，以及對應的 怎麼選取，都不會影響這個事實—— 有確定的極限 ，則稱 是 在 上的定積分，記作 .
我們看到黎曼定義下的 是可以被隨便選取的。這裡問題大致比較清晰了，不過還沒完，因為是不是有這樣的的選取方式使得 是這個梯形的面積呢？我們暫時把題主的問題限定在連續函式在這上面圍成的面積上。
首先有個定理：連續函式必定黎曼可積。它的證明就不提了。
既然連續了呢，在 之間必定存在 ，使得 ，這時 的值就是這個梯形的面積。而根據可積的定義，無論是這種選取方式還是矩形的選取方式， 的極限都是一樣的，即是這函式在這區間上的定積分。
6樓：潘敬華
因為梯形和矩形的面積差是 ，是矩形面積 的高階無窮小量。當 個相加有極限時，同樣個相加還是無窮小。無窮小的極限是0， 所以無窮多個矩形面積相加和無窮多個梯形面積相加是沒有差別的。
7樓：Forward Star
這個問題我也不是特別的清楚，我想應該是高階無窮小的緣故使得影響被忽略了。其它幾個大佬的回答應該講得更根本一些，我就給一些比較簡單的解釋吧。（由於是上學期學的了，而且當時也沒要求掌握只是會用就行，因此可能有些錯誤，僅供參考）
不知道題主有沒有學過Riemann Sums，我覺得矩形近似其實和Riemann Sums的推導其實是差不多的，即：
其中 為所有 的最大值， 為區間 中任意取值。這個意思就是說當 足夠小的時候，無論 如何取，都不會影響結果了。
而矩形近似則是等分線段，即 ，那麼只要 ，就可以保證 ，即：
然後 取 或 （就是區間兩端點），則矩形近似的形式為：
然而我們剛才提到，無論 如何取，都不影響結果，那麼我們按梯形近似取 ，由於顯然有：
根據Intermediate Value Theorem， ，使得 ，那麼梯形近似的形式為：
因此不影響結果。
當然，上述結果是建立在的基礎上，如果 是乙個常數，那梯形近似確實更為精確，這個時候就需要用到Error Bound分析。
（我先占個坑，有空回來填）
8樓：
先上結論：為什麼用矩形逼近而不用梯形逼近？因為二者結果相同，沒有必要選擇更複雜的方式。
為什麼無窮小的無窮和不一定是無窮小？為什麼微元會不同？因為無窮小之間是可以也是需要比較的。
具體我們從以下幾個角度考察：
最先開始，高中物理教材的思想是這樣的：
對於 ，在其定義域的某一區間 內等長地劃分 個小區間 ，則每乙個區間長為 。取為該小區間的端點值 或 ，則稱和式 在 時的極限為從 至 的曲邊梯形面積，記作。
這裡強迫著我們去使用矩形「逼近」這個不規則的面積，有很多問題說不清楚：憑什麼要取端點值代替整個區間的取值？憑什麼逼近後就能得到面積？
憑什麼那個差值可以忽略掉？……我們暫時放下這些問題，先接著來看看高中的定義：
對於 ，在其定義域的某一區間 內等長地劃分 個小區間 ，則每乙個區間長為 。取，則稱和式 在 時的極限為從 至 的定積分，或記作。
似乎條件變得更寬裕了，因為我們的 是可以在小區間內任取的，並不一定需要端點值。但還是沒解決乙個問題：注意到每乙個區間內的「面積」是用「矩形」去近似的——很顯然這是不完美的，因為總是即使在極小區間裡，我們的曲邊梯形面積 和矩形面積(這裡均認為可正可負)之間總是存在差值。
將乙個區間 內矩形與曲邊梯形的差記做 ，很明顯當 時，。然而，我們要注意到總差值是這無窮個無窮小的和，也就是說
我們知道，無窮個無窮小之和並不一定是無窮小，因此我們有理由認為 可能不是無窮小。進而地，我們不能就此斷言 。
然而實際上，我們的高數教材(國內)是這樣定義的：
對於 ，考察某一區間 ，將其任意分成若干段 小區間。
記 。在每個區間中取任意的點 ，則曲線下的面積為
注意到 長度可以任意給定(只要最大的那乙個是無窮小就行)，再加上你的 還可以任意選取(只要是這個小區間裡的就行)，因此這更會有更多非常寬裕的情況。幸運地是，這無窮多種情況，和式都收斂於同乙個結果。
下面解釋原因。
考慮乙個連續函式 ，在區間 內一定有乙個區域性最大值和區域性最小值，分別用 和 來表示。那麼用最大的那個矩形求出來的和式，定義為 ，同理最小的定義為 。
無論是題主所說的梯形面積，又或者是定義裡所說的任意矩形，更或者是曲邊梯形本身，面積我們都記為 ，實際上均介於最大和式與最小和式之間，也就是說 。為什麼用矩形而不用梯形去逼近，儘管梯形確實要更接近曲邊梯形本身？就是因為無論怎樣最終的結果是一樣的。
收斂於同一極限。
下證：對於一致連續的函式 ，有 。既 0" eeimg="1"/>存在乙個分割 滿足
證：對 0" eeimg="1"/>，由於 在 上連續故其一致連續。或者說 0" eeimg="1"/>，使得只要，就有 。由於最大的區間 ，那麼任何乙個區間 都將小於 。
為了利用這個性質控制 ，我們要控制 。為此，我們取 為 的 等分 。由函式的連續性可知，在分割的第 個區間中， 使得
然而 ，於是
所以證畢。
繼而，對於任意給定 0" eeimg="1"/>，在 時均有，即有 。那麼根據夾逼定理，上下均趨於同一極限，那麼 也「被迫」夾在那個極限處了。於是，這無窮多種情況都會收斂於乙個結果。
或者說，「少算的面積」 這個無窮個無窮小之和，確確實實也是個無窮小。
所以，為什麼可以用矩形來近似求和？為什麼不用梯形？因為沒必要。
額是的，所有可能的微小面積的定義形式，終將收斂於同一極限，何必去算「上底加下底乘高除以二」「任意劃分」「任意取值」，放棄「長乘寬」「等分」「取端點」呢。
首先明確一點，把影象放大，曲線不會因此「變成」 ，更不會是 ，它就是自己，我們只是想找到一種「足夠正確」的方式，將區域性情況線形化。
無窮小之間是可以比較的，一般是採取作商的方式。乙個無窮小 相對於另乙個無窮小 ，如果「比它還小」，更加趨近於零的，那麼這個無窮小稱作另乙個的高階無窮小。或者說 ，記 。
都是趨近於零的，但「趨近過程中」 比 更小，收斂地更快。我們提到的 就是乙個相對於面積而言「更小」的乙個無窮小，進而「被略掉」了。
雖然有無窮個無窮小，但由於它們相對於面積微元均是高階無窮小，所以它們的和依然是個無窮小；而面積微元的無窮和不是無窮小，是因為相對於面積本身而言，自己是等價於自己的，不可忽略。
由於是相對的，必須要具體情況具體檢驗。在這裡「弧微分」或者「旋轉體側面積」的逼近方式可以用 ，是因為 與「真實情況」相差了乙個相對於 的高階無窮小；然而用 逼近的話，差值是等價無窮小，不可以「略去」。面積可以用 的原因已經說明，旋轉體體積可以用 也是類似地去證明其相差乙個高階無窮小。
當然，肯定需要嚴格地補充數學論證上的細節，這方面很多文獻和教材都說得很透徹了。
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