1樓：金翅雀
其實這種轉換有很多啊，桌子上有一堆蘋果，你為什麼要把它對應到自然數上數出來一共有多少個呢？
幾何題目，採用各種幾何上的知識進行推理和證明啊，這個是最自然的想法，是最直接的想法。
而向量處理幾何問題，屬於歐氏幾何的部分，歐式幾何的創造就在於發現了表面上各種各樣的圖形的證明，實質上可以轉化到數學上的運算。例如，垂直在圖形上表示為成90度角，而利用向量則是其數量積為0。
將圖形問題用代數問題解決，這是乙個重要的思維方式的轉換。古希臘有一部分智者認為，數才是隱藏在萬事萬物背後的實在。
2樓：
數學上，滿足了『線性空間』的加減法吧。
在物理上則要考慮：
合力效果要和單個的力疊加再算效果，要求牛頓定律裡面的『加速度與力是正比』。同樣的原因適用於計算位移（位移與速度間是線性）。如果不是正比，那麼就不能滿足線性空間的加性。
例如，庫倫力和距離平方成反比，那麼距離就不能滿足線性可加，也就是說，想測量AB間的距離，並不能用AC + AB的向量合成來算等效。
『質點』的假設才可以用力的合成。如果考慮到旋轉，那麼就不能簡單的疊加。效果不同。旋轉的時候要考慮力矩的合成。這時就不能簡單地用力的疊加了。
物理考慮到的是結果的等效性。
3樓：柯羅伊
題主既然提出這種問題，想必已有高中的只是基礎。向量，是解析幾何，如果單看它解決平面幾何問題的能力的話。
關於三角形法則是這樣的，先問乙個問題，有方向的量就是向量嗎？
或者，電流有沒有方向，它是向量嗎？
實際上電流有方向但卻不是向量，因為它的方向並不滿足三角形法則，也就是說你不能按照三角形法則去計算電流的加減。就好比：一安培向北的電流加上一安培向東的電流假設他們在乙個節點並在一起，變成了向東北的根號2安培的電流，這是十分滑稽的。
滿足三角形法則的量才是向量，某種意義上說三角形法則是定義。所有向量都是滿足三角形法則，這與實驗無關，如果不滿足它就不是向量。
再說物理中力的分解的問題，乙個很重要的點是實驗並不能成為證明，即使有一千億次列舉是正確的，也不能確保剩下的也都是對的。這是物理直說「定律」而不是「定理」的原因，畢竟只有4%的宇宙物質滿足我們現在的物理學認知。而數學原理是不一樣的，向量的所有法則用座標定義，由座標給出公理，有座標給出證明是嚴格的。
物理上出現這些規律，都是因為有背後的數學原理在支撐。
最後的話，可以看到任何乙個平面圖形可以放到平面直角座標系中（斜角也沒有任何問題）所以很自然的是只要你肯算所有的頂點、邊都可以用座標和方程表示出來（畢竟解析幾何裡夾角、距離一切的一切都能計算）都可以用座標表示就都可以用座標解決，而向量恰好是表示座標關係最好的方式，將代數方法通過座標系帶入到幾何中。所以向量可以解決這些平面幾何問題，輕而易舉。
最後說一句，向量不是平面幾何，公理推不出是沒錯的。它是解析的東西，只看幾何能力的話。向量的運算都是用方程（斜率相等聯立無解是平行）、相似（斜率乘積為-1）、三角函式（內積座標形式）可以直接推倒的，所以用向量解決問題是沒有問題。
人為定義的向量為什麼能被納入數學幾何證明？
北方 兄弟，數學學的不錯嘛。這個問題我以前也想過，可能是高中數學教科書編的太菜了，這類原則性問題課本上根本沒有給出解答。對於向量引入幾何有這樣幾個概念可以了解一下。向量可以很完美的描述幾何的最基本的元素 長度和夾角 相對方向上的差異 如果已知足夠的基本幾何條件，那麼在這些條件下，所有將會發生的幾何關...
定積分幾何應用中，為什麼可以用矩形來近似求和？
772177 定積分的幾何意義，是對於從a到b的x的無線分割，把x軸無限分割，取的就是x的微元dx。你說的梯形，上下底應該指的是f x 和f x x 高就是 x，在無限分割時 x dx 0，上下底相等，其實就是乙個矩形。在曲線積分裡才有對弧長的積分，這時才會取微元ds。 請事斯語矣 因為極限定義，而...
為什麼空間中量子可以用平面波描述？
likebanana 一般的回答會告訴你球面波在距離足夠遠的地方，對於尺寸足夠小的物體來說，可以被近似成平面波。我會說得多一些。首先，不是說我們在處理散射問題的時候它就 是 平面波，而在另外的情況下它就 是 球面波。而是在一般的散射實驗裡，用平面波來處理問題更加接近真實情況，更加簡單而已 而在其他情...