1樓：人仁韌忍
上下側只是在將左邊的曲面積分轉化為二重積分時的正負號選取，推薦看一下B站上湯家鳳老師的課程，很詳細。我也是聽了他的課才懂的。
2樓：
0、三維空間 本身是可定向的。
1、曲面作為 的二維子流形，同樣分「可定向」和「不可定向」兩種。對於不可定向的曲面（比如莫比烏斯環），你就沒法區分「上下側」。
ps: 對於不可定向曲面，無法求第二型曲面積分。
2、確定 的一種定向 後，對於「可定向」的曲面 ，其定向分為兩類：一類是與 在 上的誘導定向同號的，另一類是與誘導定向異號的。 由此有了兩側的區分（而不是三側、四側等等）。
ps：通常意義上「上/下側」是用乙個方向（外/內法向量）來表示的（如果對曲面的每一點都指定上/下側，那就成了向量場），這是因為我們有Hodge星(*)運算元，把作為微分2-形式(可以理解為面積微元)的定向變成了微分1-形式（法向量）。
「可定向」的初等解釋我找找，找到再更~~~
3樓：
第一類曲面積分中沒有上下側之分，而第二類曲面積分，讓我們回顧它的定義，積分號內是乙個向量函式（表示流量）與乙個有向曲面微分的點積，實際上並不是什麼區分出上下側，準確地說應該是，對於某乙個給定的曲面，在每一處我們可以寫出不同的曲面微元的法向量，它們分別指向曲面的兩側，而計算某乙個具體的積分時，我們當然要明確寫在積分號內的是哪乙個法向量，也即表示的是流量函式在哪一側的通量，這表明，對乙個通過曲面的流量，以不同方向計算得到的結果是不同的，這一結論是顯然的。
4樓：95版波特
參考一下這個問題的回答。
曲面積分為什麼要分內外側？
個人愚見，對座標的曲面積分是為了解決雙面曲面積分問題（例如磁通量，流量等）所發明的數學方法，所以區分方向；而對面積的曲面積分是為了解決一般曲面的積分問題（例如質量等）所發明的數學方法，所以不要求方向。
高數的理解忘了不少，如果有錯誤還請輕噴。
對面積的曲面積分和對座標的曲面積分如何進行幾何理解
龔漫奇 第一就把密度看成是負的，有什麼了不起的，如果有一天物理界發現了負質量，你會不會驚得目瞪口呆？即使永遠也發現不了負質量，難道我們頭腦裡就不能建立乙個負質量嗎？難道我們的思維就不能創造一點兒現實中沒有的東西？在人類剛剛使用負數的時候，多少人跳腳唾罵，多少人不能理解？時至今日，不也被大多數人承認了...
這個曲面積分怎麼算？
Times1120 這道題換做在整個曲面上積分是比較容易解決的，如下 再根據等式 知 再令 得 其中 是虛宗量的Bessel函式，性質和第一類Bessel函式一樣。不過要是在第一卦限的話處理方法不太一樣，得到的結果含有變換後 應該也是虛宗量 的Struve函式 也就是 證明見鏈結 最後再減去兩個座標...
曲面積分和曲線積分在應用數學應用物理學中的例項？
雖然曲線積分和曲面積分在數理中有很多深層次應用，不過實際上曲線積分有個很簡單的模型 一條密度不一定均勻的曲線的質量。簡單起見，在平面直角座標系xOy上考慮。設這條曲線的密度函式 也就是在曲線上任意一點 x,y 上的密度的函式 為f x,y 那麼積分就相當於 上面這個表示式幹的事情是 為了易讀，有些將...