1樓：予一人
請回歸定義
這裡的變數 無關。這時， 左端積分要存在，當然要求 都存在，因為但是，有一種更特殊的柯西主值積分，它被定義為這相當於在 中，取 顯然地，這時就不再需要 都收斂，只要 是奇函式， 於是
2樓：「已登出」
舉個最簡單的例子
f(x)=x
從負∞積分到正∞
按照定義來說，負∞到0的積分是發散的，0到正∞的積分也是發散的，那麼整體積分也是發散的，無法計算。
你的說法是，這個函式是奇函式，左邊和右邊抵消，所以積分結果是0
但是，你的說法其實是預設了x從0到負∞與x從0到正∞的變化速度是一致的，相當於計算的是
f(x)=x，x從-t到t的積分，當t趨於∞的結果。
但是，原題沒有這個預設條件。
如果該反常積分收斂，那麼不管按照怎樣的速度去趨近，結果都是一樣的，不可能說你用方法A做出來的結果和別人用方法B做出來的結果不一樣。
你現在算一算
f(x)=x，x從-t到2t的積分，當t趨於∞的結果。
f(x)=x，x從-2t到t的積分，當t趨於∞的結果。
這兩個積分是不是也是f(x)=x，x從負∞到正∞的積分?那最後的結果是不是不一樣?
再舉個例子，級數的收斂
數列an滿足
a(2n)=n
a(2n-1)=-n，n為正整數
請問，該無窮級數是收斂還是發散
3樓：asdlittle
完全可以形式上不寫成兩部分，比如可以定義∫(-∞，+∞)f(x)dx=lim(u→-∞，v→+∞)∫(u，v)f(x)dx=A，其中極限的意思是指：任給ε＞0，存在X＞0，使得對於任何u＜-X，v＞X，都有|∫(u，v)f(x)dx-A|＜ε。菲磚上採用的就是這種定義，而且容易證明這個定義與寫成兩部分收斂的定義是等價的(請題主自行思考如何證明該定義與課本常見定義等價)。
要注意區分的是這種定義與lim(u→+∞)∫(-u，u)f(x)dx是兩個不同的東西，後乙個極限不叫反常積分，叫柯西主值，柯西主值收斂與反常積分收斂是不等價的，比如顯然f(x)=x負無窮到正無窮的柯西主值為0，但反常積分並不收斂。
4樓：薛丁格的貓
看定義，我們知道這種反常積分是拆成兩部分，再分別研究兩部分是否收斂，如果都收斂那麼稱為收斂，如果存在乙個發散則稱為發散。數學不要從定義裡面找毛病。
再說說個人理解，所謂反常積分，無非就是定積分的推廣，定積分研究的是有限的曲邊梯形面積，無窮限反常積分就是無限長的曲邊梯形的面積（高斯正態分佈函式），瑕積分就是無限高的曲邊梯形的面積。
有的人會想如果有一部分發散到正無窮，另外一部分發散到負無窮，那麼兩部分相加不就是零，怎麼能說是發散呢？那是因為存在沒有意義的部分。
舉個例子，我們知道分母不能為零，分母為零時沒有意義，因此在計算1/0＋2/0（不是洛必達那種未定式）時直接可以下結論該式子無意義。
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