1樓：eaudenoixdecoco
舉乙個物理上的例子。如果我沒記錯，可能這是物理學家開始關注無窮維線性空間的原因。
在量子力學裡，觀測量所有可能的結果由厄公尺（復自伴）算符（運算元/矩陣）的本徵值（特徵值）描述。如果這個算符只作用在有窮維空間上，那麼這個算符最多只有有限個本徵值。這是無法描述氫原子電離態（散射態）的，因為描述電離態需要連續譜，有限個本徵值不夠用了
2樓：C.Jie
因為有限維空間的拓撲比較平凡，一般大部分問題靠多元微積分和線性代數就能處理，但實際上遇到的最重要的一些空間都是無窮維的，比如量子力學裡的物理希爾伯特空間，做優化或者控制裡的函式空間，這些空間的拓撲非常的不平凡，很多重要的性質，例如緊性，都與有限維空間非常不一樣！
比如做控制與優化，還有解偏微分方程都需要用到函式空間，顯然函式空間是無窮維的。比如用一系列的比較簡單的函式序列去逼近乙個複雜的函式，這種逼近或者取極限需要用到範數，有限維空間的拓撲是平凡的，各種範數都等價，但無窮維空間就有很多不同！
比如L^2,l^2這兩個範數就不是每個無窮維的空間都有的，因為這個範數對應了內積，物理裡面量子力學用到的就是物理希爾伯特空間，它相比有限維的歐幾里得空間，比如上面的線性運算元不一定只有離散譜，而量子力學的的可觀測量是稠定的自伴運算元，有稠密的連續譜，比如動量算符P和位置算符X,態可以在這組基下展開，對應的不同基下還有傅利葉變換，很顯然研究這些問題都不能照搬有限維的經驗！
所以最後總結一下:
1 大部分遇到的非常重要的空間都是無窮維
2 無窮維空間的拓撲非常不一樣，很難用有限維的線性代數和多元微積分去處理
3樓：Yuhang Liu
因為函式空間是無窮維的，而研究無窮維函式空間的動機來自於偏微分方程。解的存在唯一性需要用到各種先驗估計，而進行估計用到的範數，自然存在於諸如Sobolev空間之類的函式空間之上。可以說不引進各種函式空間，沒有弱解，沒有泛函分析的話，現代數學是沒辦法嚴格處理PDE的。
另外也不是只有純數才用無窮維空間。統計，機器學習不也用L^2範數麼？只是應用領域的人可能更關心具體的公式，而不太關心本體論層次的概念體系而已。
4樓：sinxl
對實際問題來說，說是無窮維，其實是不知道多少維的有限維。比如，你只研究了三維，萬一哪天碰到四維問題又得重新研究，研究了四維，萬一哪天碰到五維呢。就算你研究了一億維，還有可能遇到一億零一維的情況。
所以，乾脆就研究無窮維算了。
這用到了無窮這個數學概念的本來意義，就是不論你指定多大的有限維，我研究的有限維都比你指定的大，都能適應你的情況
5樓：mltj01
舉個例子。考慮三維情況，你站在原點，在你前方一公尺處有乙個足球門。你腳下有乙個足球，你要把球踢進去。
問題1：如果沒有守門員，你能怎樣把球踢進球門（球該有怎樣的運動軌跡）？
問題2：如果你面前0.5公尺處有一堵牆，你該怎樣把球踢入球門？
問題3：如果球門處有守門員，你又該如何把球踢入球門？
對於這些問題，我們有很多種進球策略，其中最重要的是球要有乙個合理的運動軌跡，這樣才能進球。這些運動軌跡構成了某個連續函式集，並且我們往往不能用有限個函式基來描述這些運動軌跡。其實這些有限個基可以理解為問題2中的那堵牆，只要牆不是無限高，我們總還的有辦法進球的。
而且，只要不是極端的限定條件，我們的這個連續函式集它是和C_0［0，1］的函式集是等價的。
那麼在數學領域，我們的研究物件就可以是C_0［0，1］。該區域是無限維的。所以我們要研究無限維空間。
6樓：折翼
因為有限維空間上的運算元往往構成無限維空間。比如區間[a,b]上的連續函式全體C[a,b]是無限維的(當然這要事先定義好線性空間、維度等概念)。
如果說乙個函式(運算元)是一棵樹，那麼全體函式(運算元)就是一片森林。想要從整體上研究這些函式的性質，當然要研究它們的全體構成的無限維空間。在此基礎上的伴隨運算元、共軛空間等概念，揭示了更深層次的分析學聯結。
詳細內容請看泛函分析。
如果從整體上研究了這些運算元構成的無限維空間，自然就會對微分方程、積分變換等具體的運算元有進一步了解。這在很多實際問題中是有益的。比如那個著名的例子：
存在連續函式，其傅利葉級數在給定的點發散。
7樓：H.N羅巴切夫斯基
這個問題可以值得好好思考一下
閒扯一下
拿控制理論來說，先不談經典控制理論，現代控制理論大多關注ode方程，無論是可控，可觀，穩定等方面，ode就涉及有限空間，是乙個有限維的問題；但是很多問題單純用ode建模是難以精確描述的，比如飛彈航空之類那些複雜模型，pde就佔據了主導地位，一涉及pde，就得上無窮維空間了，為此發展的泛函分析等工具發揮了巨大的作用。
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