1樓：
雖然曲線積分和曲面積分在數理中有很多深層次應用，不過實際上曲線積分有個很簡單的模型：一條密度不一定均勻的曲線的質量。
簡單起見，在平面直角座標系xOy上考慮。
設這條曲線的密度函式（也就是在曲線上任意一點(x, y)上的密度的函式）為f(x, y)，那麼積分就相當於
上面這個表示式幹的事情是（為了易讀，有些將定義嚴格化的強調，比如光滑連續可導什麼的我就暫時省略了）：
將有質量的曲線段L分割成很多小段，每一段的長度都不超過length，第i小段的左右端點是ai和bi，它的長度是Δsi，將這一小段上隨機乙個點處的密度記為f(ai, bi)，當Δsi足夠短時（length趨於0），這個小段上的任意點之間的密度就會足夠接近（趨於相等）。那麼f(ai, bi)Δsi就將趨於這個小段的質量。
因此，上述等價於求和式的曲線積分式的含義就是——這條密度分布為f(x, y)的曲線的L段的質量。
這是所謂第一類曲線積分，或者叫對弧長的曲線積分。還有第二類曲線積分，也叫對座標的曲線積分。它和第一類的不同在於它所積的曲線是有方向的。
它也可以等價成乙個簡單的物理模型：變力推動乙個質點沿曲線做功。
面積分同理，對面積的曲面積分實際上相當於用這個曲面的密度函式對曲面面積進行積分，得到的積分結果是這個曲面的質量。對座標的曲面積分則是一定速度分布的流體流經這個曲面時，依照積分曲面的方向所指，從曲面一側流到另一側的流體的質量。
這些東西在物理上有很多應用。例如一束粒子穿過不均勻材料，在不同部分能量損失不同，要求出粒子束總共損失的能量，實際上就是在求乙個第一類曲線積分，只是密度函式變成了能量損失函式。乙個奇形怪狀的表面帶電物體的總電荷量，就是乙個對面積的曲面積分，只是面密度函式變成了它的表面電荷的分布函式，最終積分出來的質量也就變成了電荷量。
對面積的曲面積分和對座標的曲面積分如何進行幾何理解
龔漫奇 第一就把密度看成是負的，有什麼了不起的，如果有一天物理界發現了負質量，你會不會驚得目瞪口呆？即使永遠也發現不了負質量，難道我們頭腦裡就不能建立乙個負質量嗎？難道我們的思維就不能創造一點兒現實中沒有的東西？在人類剛剛使用負數的時候，多少人跳腳唾罵，多少人不能理解？時至今日，不也被大多數人承認了...
這個曲面積分怎麼算？
Times1120 這道題換做在整個曲面上積分是比較容易解決的，如下 再根據等式 知 再令 得 其中 是虛宗量的Bessel函式，性質和第一類Bessel函式一樣。不過要是在第一卦限的話處理方法不太一樣，得到的結果含有變換後 應該也是虛宗量 的Struve函式 也就是 證明見鏈結 最後再減去兩個座標...
曲面積分為什麼區分上下側？
人仁韌忍 上下側只是在將左邊的曲面積分轉化為二重積分時的正負號選取，推薦看一下B站上湯家鳳老師的課程，很詳細。我也是聽了他的課才懂的。 0 三維空間 本身是可定向的。1 曲面作為 的二維子流形，同樣分 可定向 和 不可定向 兩種。對於不可定向的曲面 比如莫比烏斯環 你就沒法區分 上下側 ps 對於不...