1樓：善意謊言125
個人理解(ω`)
以向量場來解釋：
圖1.通常的定積分：路徑為直線，路徑上向量方向處處與切方向共線。
第一類曲線積分：路徑為曲線，路徑上向量方向處處與切方向共線。
第二類曲線積分：路徑為曲線，路徑上向量方向為任意方向。
圖2.二重積分：面為平面，面上向量方向處處與法向量共線。
（三重積分：「面」為三維空間的體，「面」上向量方向處處與「法向量」共線）
第一類曲面積分：面為曲面，面上向量方向處處與法向量共線。
第二類曲面積分：面為曲面，面上向量方向為任意方向。
2樓：Enchanted
因為最近也在學這個hh
然後剛好整理了一些內容
用Mindmaster畫了積分家族的關係圖也是覺得高讚答案所說的積分地鐵線路圖是很形象的一種表述~
3樓：
分為重積分，第一型曲積分，第二型曲積分。
在R1中積長度、在R2中積面積，在R3中積體積，叫重積分。在R2中積長度、在R3中積面積或長度，叫曲積分。特別的，還可以把重積分看作是曲積分，不過有點多此一舉了。
第一型曲積分和第二型曲積分又是完全不一樣的東西。沒方向的是第一型，有方向的是第二型。第一型曲積分比第二型好理解，不用考慮方向，但有時候算起來更麻煩一些。
第二型曲積分要考慮方向，來自於物理中力做功和磁通量的計算，最大的難點在於方向到底是什麼，理解起來比較難。（聽說微分幾何中會有更詳細的闡述，不過我覺得用不上）值得注意的是，第一型曲積分和第二型曲積分是完全不同的東西，很多教材強行用cos轉換屬於脫褲子放屁。另外，高斯公式，格林公式，斯托克公式實際上都是第二型曲線積分的公式。
最後，值得一提的是，前面學的定積分，其實是有額外的方向，由於它是一維，有很多特殊性質，可以看作是重積分和第一型曲積分第二型曲積分的雜糅。
4樓：劉zming
本質上就是：
線積分，一維積分(曲線是一般形式，直線即x座標軸是特殊形式)面積分，二維積分(曲面是一般形式，xy平面是特殊形式)當然還有體積積分，三維積分；四維甚至更高維。
5樓：高YZ
寫乙個幾何一點的解釋：
給定可定向連通微分流形M，可定義其上的最高端微分形式的積分，這就是所謂的第二類曲線、曲面積分。如果我們指定乙個度量以及其上的體積形式dVol，那麼我們就能談論怎麼去積分其上的乙個函式，就是∫_M f(x)dVol . （仔細想一想的話，其實這就是說最高端de Rham同調群是R）
一般在M嵌入或浸入R^2或R^3中我們考慮大空間的誘導度量。
特別的，當流形M本身就是歐式空間的話，這個定義就是和二重、三重積分是一樣的。（證明留作習題，其實是平凡的廢話）（當然要注意的是，流形上的積分本身的定義是依賴於重積分的定義的...）
當流形可定向或不可定向時，我們可以定義其上的密度，這就是第一類曲線、曲面積分。
Reference:
John Lee, Introduction to smooth manifold. Chapter 12, 14, 15, 16.
Spivak: Calculus on manifold. （有中譯本）
6樓：吳洪濤
第二類積分：積分方向和被積向量值函式的夾角是任意的鐵釺子就相當於積分路徑麵筋就相當於向量值函式。第一類積分：積分方形和向量值函式的夾角是唯一確定的
圖為線積分和區域積分的關係（格林公式） 在乙個封閉區間內的第二類積分的積分就是區域積分。如圖：圓形區域為意思描述。
7樓：邊學
個人覺得重積分包括單變元定積分是展布在「平整」的一維，二維，等等的求和。曲線積分就是展布在彎曲的一維空間的求和，包括拓廣到二維平面和三維空間的曲線。類似的，曲面積分就是展布在彎曲二維空間的求和。。。
8樓：
從這個問題開始思考：為什麼二型積分可以化為一型積分來計算呢？以曲面積分為例。
二型曲面的被積函式無非是兩個向量函式（曲面法向量函式和空間向量場函式）的內積。內積是標量啊，所以和一型曲面積分就是乙個東西。只是二型積分的內積特點可以轉化為分座標的形式，一型僅僅化為o-xy平面的投影，二型分為了三個平面的投影。
考研數一，在第一型第二型曲線曲面積分中，什麼時候能將邊界函式帶入被積函式？
行者 總則 重積分 無論是二重 三重的 都 不能 把區域方程 嚴格說來應該叫 區域不等式 代入被積函式 曲線 曲面積分 無論是第一類 第二類 都 能 把曲線 曲面方程代入被積函式 細則 使用高斯公式後,第二類曲面積分轉換為三重積分在轉換之前 能 把曲面方程代入被積函式 轉換之後,不能 把積分區域方程...
格林公式 高斯公式 是妙在把二重積分化為曲線積分，還是把曲線積分化為重積分？
擺渡人寶刀君 格林公式是將第二類曲線積分 也叫對座標的曲線積分 轉化成二重積分來計算 高斯公式是將第二類曲面積分 也叫對座標的曲面積分 轉化成三重積分來計算 換句話說，現在是將這種單獨的曲線 曲面積分轉化成了他們所圍成的某個區域的積分。比如說 格林公式講的是你沿著封閉曲線做功，我可以轉化為求封閉曲線...
這個第二型曲面積分用書上的方法怎麼做不出正確結果，第二型曲面積分轉化成重積分怎麼理解？
龔漫奇 不知道你注意到沒有，如果你想用你的書上的那個定理來做這個曲面積分 實際上，這個題用高斯公式來做，比較簡單 由於你算的曲面是由四塊曲面 分別對應四個方程 x 0後側,y 0左側,z 0下側,z 1 x y上側 組成的，所以你要用四次那個公式，而且有兩次是那個公式的副本公式。只有z 1 x y上...