1樓：龔漫奇
不知道你注意到沒有，如果你想用你的書上的那個定理來做這個曲面積分（實際上，這個題用高斯公式來做，比較簡單），由於你算的曲面是由四塊曲面（分別對應四個方程：x=0後側,y=0左側,z=0下側,z=1-x-y上側）組成的，所以你要用四次那個公式，而且有兩次是那個公式的副本公式。只有z=1-x-y上側是直接套這個公式（其中的z=z(x,y)就是z=1-x-y，D就是由xy面上x=0,y=0,x+y=1所圍的曲域，然後一套公式就可以算出結果）；而z=0下側，需先算z=0上側（直接套這個公式），然後乘乙個(-1) 變成z=0下側；而x=0後側要用此公式的副本
【定理'：如S：x=x(y,z),(y,z)∈D的前側，則∫∫[S]
=∫∫[D]dydz】；
至於為什麼這樣乙個二類曲面積分可以按你說的公式等於乙個二重積分，按我編的書（見下面的鏈結）的邏輯是這樣解釋的，首先，二類曲面積分是用一類曲面積分定義的（就是說二類曲面積分是等於乙個一類曲面積分的），然後是根據一類曲面積分的定義，可以把它化為乙個二重積分，所以最後二類曲面積分就等於了乙個二重積分，詳情請看下面鏈結的文章：
另外其中的dS的計算公式的推導見下：
龔漫奇：為什麼曲面積分裡面的ds=（1+zx2+zy2）dxdy呢？
2樓：tetradecane
積分要想理解得好，就得好好研究積分的微元，如圖1所示：
圖1 面積分的微元
從曲面 上擷取一微元曲面，可視為平面。這一微元的第二型曲面積分的定義就是
其中 是該曲面微元在 平面上的投影，其餘類似，稱為投影微元。
現在我們要把它化為二重積分，也就是把投影微元 和 表示為 .
圖2 投影微元的關係
如圖2所示，顯然有 ，而此時x軸前進時z軸下降，也就是說z對x的偏導數為負，故
同理有 .
因此 ，即
這就是第二型曲面積分轉換為二重積分的本質原理。
顯然在平面 上總有個座標恒為0，故面積分為0，只需要考慮 平面上的面積分。
其中 表示 和座標軸圍成的三角形區域。
然後就是簡單的二重積分計算，化為累次積分即可這個過程我直接拿軟體算了，如圖3所示：
圖3 軟體計算積分結果
這個曲面積分怎麼算？
Times1120 這道題換做在整個曲面上積分是比較容易解決的，如下 再根據等式 知 再令 得 其中 是虛宗量的Bessel函式，性質和第一類Bessel函式一樣。不過要是在第一卦限的話處理方法不太一樣，得到的結果含有變換後 應該也是虛宗量 的Struve函式 也就是 證明見鏈結 最後再減去兩個座標...
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