1樓：lagbn uiohu
2樓：張辰LMY
大家不必追求的所謂等周問題初等解法了。
那些初等方法最大的技術困難在於證明「解的存在性」，這一步就算不用微積分，也要用到極限概念。項武義在《基礎分析學之一》中給出乙個等周問題的初等解法，包含解的存在性（當年斯坦納忽略的地方），但不見得比微積分證明好懂。
3樓：
二維空間，可以是曲面，不同於平面，這種情形下圓一般無法定義（有對稱性時除外）。定長閉曲線，放在曲面不同地方，圍的面積不一樣，當然，曲線變形，也會導致面積不一樣。用變分應當可求出。
這是最普遍的說法，平面中圓最大。
4樓：Forwil
這裡給乙個簡單點的解釋。
直觀的證明分以下四步：
假設解存在
證明曲線必然是凸曲線
證明對稱的曲線最優
證明角AOB必為直角
出自《什麼是數學》R.柯朗,第七章第8節「等周問題"
5樓：Frank Zhang
可以問乙個更一般的情況，在上，給定乙個面積為1的閉曲面(n-1 dimension),它圍成的的最大區域是否存在，形狀又如何。
答案很好猜,曲面應該是球形。http://www.
ugr.es/~aros/isoper.pdf這篇文章根據乙個範圍更廣的定理證明了這一點。
作者考慮了乙個n維流形，可以有邊界，也可以沒有，然後給定乙個體積，定理說滿足這個體積的最小閉曲面是存在的，而且曲面具有固定的平均曲率，並且如果這個閉曲面和流形邊界有交集的話，那麼閉曲面一定和流形邊界正交。該定理更嚴格的描述請參考上述文章。
對於乙個任意的流形來講，不是很好找出這個曲面的顯明解，而且作者提到在高維情況下，這依然是個開放性的問題。
6樓：
這個問題的答案是肯定的. 事實上, 我們有等周不等式:
任何弧長為的平面閉曲線所包圍的面積, 僅當閉曲線為圓是取等號.
一位匿名使用者給出的答案的問題在於沒有證明等周問題的解的存在性. 他實際上證明了如果等周問題的解存在, 則必然是圓. 余翔給出的證明是嚴格的, 想法直接但略繁瑣.
下面給出Peter Lax在A Short Path to the Shortest Path一文中的乙個證明.
設是曲線的引數形式, 自變數為曲線的弧長且. 不失一般性, 假設均在x軸上, 即. 曲線包圍的面積為.
根據均值不等式, 令, 則有, 其中等號利用了對於弧長為自變數這一性質.
由於, 不妨設, 其中有界可微. 對上式其兩邊求導, 有. 帶回的表示式, 有.
注意到為的導數, 並對上式分部積分, 得到. 等號僅當. 這意味著. 注意到均值不等式取等號的條件為, 因此此處取等號的條件是. 由此求得, 是半圓.
由此我們證明了等周不等式:
證明的原文請參考: http://
ocw.nctu.edu.tw/course/
fourier/supplement/short%20path.pdf
在常庚哲的《數學分析教程》的17.4節也採用了這個證明.
7樓：guo tony
我覺得可以用實驗的方法來證明：
乙個可以無摩擦變形的線圈（周長當然是一定的），在其中倒入一定量的水，忽略表面張力的話，那麼最後一定會撐開最大的面積——因為只有這樣總勢能最小
8樓：leo QwQ
是的。 這是等周不等式的結論。恰好前段時間思考過這個問題的證明，再給出一種不同於其他回答的證明方法。（此方法用到了幾何分析，故先給出一些預備知識）
9樓：雨夜狂流
如果限於分段連續可微的封閉曲線的話，Peter Lax有過乙個僅用第二類曲線積分的證明。據說21世紀項武義有乙個很基礎初等的證明，不過我沒有看過。
10樓：
我是個熱愛數學但是又看到式子就頭疼的人，我想給一下我的理解，當然不是嚴格的數學證明。
不知道樓主有沒有見過農村裝谷用的蛇皮口袋
對，就是上圖中裝化肥的袋子，用完化肥裝稻穀，農民伯伯是環保節約的急先鋒。
想象一下，如果我盡可能往袋子裡裝稻穀，直到擠滿，擠滿，擠滿，這個袋子最終是什麼形狀？
對，是這種形狀。事實上這並不是乙個嚴格意義上的圓柱體，這很大原因上是由於袋子底部的結合處的封口形狀造成的形變。
那我們就來一起完成科學程序中偉大的跳躍：從現實條件到理想條件的抽象總結。如果袋子無限長無限長，以至於裝滿了稻穀之後上面部分的形狀不受袋子底部縫合處形狀的影響，那上面應該是個什麼形狀呢？
我覺得應該是個圓柱體，理想的圓柱體。
我想說什麼呢？在周長一定的情況下（袋子的腰圍長度是定的），為了達到最大的面積（袋子最大的橫截面積，裝最多的穀物），形狀必定是圓（袋子最終必定形成圓柱體）。
以上：二維空間中，在周長一定的情況下面積最大的圖形，是圓。
11樓：yuyu
是的。與這個問題相關的定理是等周定理[1]，雖然圓看似是問題的答案，但這個問題的證明其實並不簡單。2023年，Hurwitz給出了乙個用Fourier級數所作的證明[3]，Hurwitz的證明方法如下：
設，，為一逐段連續可微的封閉曲線的引數形式，引入引數，於是，
由於曲線封閉，有：
，將，其展開成Fourier級數
則：又：
，曲線所圍成的面積
根據三角級數的正交性
因此當且僅當，，
等式才成立，也就是
這是圓的引數方程，由此可見，所有分段光滑的連續曲線都滿足等周不等式
其中為周長，為面積,當且僅當曲線為圓時等式才成立。如果一定，那麼最大為，此時封閉的曲線是圓。
如果封閉曲線引數方程是(二階導數連續)也可以用變分給出證明。
設這條封閉曲線的引數方程為，，是弧長，曲線封閉，所以1)
這條曲線的周長為
2)其所圍成的面積為
3)可見是關於函式的泛函，問題可歸結為：
在邊界條件(1)和約束條件(2)下，從一切，函式中選一對函式，使目標泛函(3)為極大。
根據Lagrange乘子法，若在(1)，(2)約束下函式，使得泛函(3)去取極值，則存在常數，使函式滿足輔助泛函
所給出的Euler方程
式中將G代入上式可得
積分可得
整理得這是圓族方程，如下圖所示,令
將上式代入等周約束(2)得
即於是圓的方程為
這是乙個半徑為，，為待定常數，可由邊界條件(1)確定。
參考[1]等周定理的證明史：http://
[2]數學物理方法 P76
[3]微分幾何講義 附錄一：3.平面曲線的等周不等式
12樓：
之前在知乎恰好問過類似的問題，請問當周長一定時，和一條無線長的直線圍成面積最大的圖形是什麼？，有知友已經順便幫忙解答了。
在這邊分享給題主吧。
樓上給的等周不等式證明比較複雜，我複製貼上乙個比較簡單的證明吧。
是。證明如下
①首先圖形C必須是凸出的,即對於C上的任意兩點PQ,線段PQ要麼在C上,要麼在S內,不會在S和C以外,否則必然存在更大的面積.
如下圖所示,藍線和綠線圍成的面積不是最大的,做黃線和綠線關於PQ對稱,則黃線和藍線圍成的面積更大.
②其次如果邊界上的兩點P,Q將邊界的長度平分,則線段AB必然將面積平分,否則會有更大的面積.
如果綠線長度和藍線長度相等,但是綠線和PQ圍成的面積小於藍線和PQ圍成的面積,則藍線和綠線圍成的面積不是最大的,做黃線和藍線關於PQ對稱,則黃線和藍線圍成的面積更大.
③接著證明線段PQ一側的圖形必須是半圓,否則存在更大的面積.
④如果R是邊界C上除過P,Q以外的任意一點,如果PR不垂直於QR則存在更大的面積.
如下圖所示,因為C必須是凸出的,所以S的面積只可能等於藍色區域面積加上黃色區域面積.在兩塊黃色區域PR和QR形狀確定的前提下,將P,Q分別繞著R轉動,當PR⊥QR時,藍色區域面積要大於PR不垂直於QR的時候.
因為△PRQ面積=1/2×|PR|×|QR|×sin(∠PRQ),其中|PR|,|QR|不變,當∠PRQ=90°時,sin(∠PRQ)有最大值1.
於是,要想PRQ圍成的面積最大,對於邊界C上除過P,Q以外的任意一點R,都要滿足∠PRQ=90°,初中學過,滿足該條件的R的集合是以PQ為直徑的圓.
由此證明了:周長一定時,如果圖形面積存在最大值,則該圖形必然是圓.
如何用簡單的方法證明 在周長一定時，圓的面積最大 ？
特有風格 我也來發表一下我自己的想法。關於這乙個周長一定面積最大的問題，我們可以用 長度的利用率 來說明一下為什麼圓是恰到好處的利用了每一單位的周長，沒有一丁點浪費。1，在每乙個不規則的封閉圖形內部都可以任意找乙個點，我們暫且當作這個點為該圖形的 中心 2，我們現在來考慮一下外圍的周長怎麼樣才能和這...
一定橫截面面積下，橋墩是圓的好還是方的好？
孫jc 完全搞不懂LZ的意思。你這是橋墩墩身還是啥。墩身的話，受力上滿足就好了，在夠用的情況下肯定選圓形。偏心受壓滿足，墩身恆載盡量輕，減少自重，樁基樁長也能減短，造價較低。 王小鵬 既然確定了截面積一樣，也就是用料都一樣，那麼明顯矩形截面的慣性矩會大於方形，方形又大於圓形截面，可以根據公式自己算下...
在乙個平面內，如何證明乙個大小一定的圓內部的點和外部的點一樣多？
學識不夠，上述答案都看不懂。如果乙個平面內，有乙個圓A，那麼在圓A外作乙個等圓B，那麼是否圓A圓B內部的點一樣多？如果把平面內雙圓以外的區域稱為C，那麼原題的意思是證明A的點和B C的點一樣多？換句話，B的點也和A C的點一樣多。說明C是沒有點的。可常識告訴我，除了特殊情況，乙個平面的點不應該為零。...