1樓：Observer
其實還可以更緊一些........
考慮到 的連續形式為 ,並且
故考慮以下的裂項放縮 （考慮導數的定義式，很容易聯想到這一步）接下來證明上述放縮
由於 作適當變換，即為
即 所以
2樓：
這題你單純要證明
那最簡單的方法就是：
當然，你如果學過微積分，就應該知道
級數 本來就是可以精確求和的，實際上
證明方法有不少，我舉乙個用一點點傅利葉級數的知識就能證明的方法我們考慮將函式 在區間 上進行傅利葉展開
顯然由Parseval等式
所以有所以
當然你還可以得到
這個證法也很多，可見：
如何證明 1+1/4+1/9+1/16+1/25+…=π/6？
3樓：
既然是高三黨，預設學過基本的導數。
注意到： 。
（高中應該知道，如果 g\left(x\right)" eeimg="1"/>在某個區間 上成立，那麼這個區間上 的積分結果大於 ）
因此： 。
邊界條件：上述表示式需要 1" eeimg="1"/>，但是顯然 也成立。
因此，證明了乙個更強的結論： ，也就證明了原始問題。
一般地，若 1" eeimg="1"/>，那麼 。等你大一更系統學習了微積分就知道，這是著名的 p-級數 收斂問題，更進一步，就是著名的黎曼函式Zeta。
當然這個結論實際上也不強，因為事實上這玩意的求和結果不超過 ，參考這裡，但高中一般知道小於 足夠了。
4樓：
先證明引理： (這裡使用積分證明；用初等求導方法證明這一行也行)注意到1/x是凸函式，這樣有不等式
將上式將t從0到0.5積分得
計算該積分即可。
5樓：木木
原式改為無窮形式：
通過下面的不等式放縮
第2~3項：
第4~7項：
第8~15項：
第 項：
則成立：
這裡只是舉了乙個例子，還有其它不等式放縮形式。
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