1樓：薛丁格的貓
柯西收斂準則:極限收斂的充要條件
在沒有或者想不到更好的辦法的時候
直接用柯西收斂準則準沒錯
2樓：ViXbob
， ，故 恆成立。顯然 的極限存在，且為 。
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此處 。且 ，不難得出奇數項均小於 ，故有0 \end" eeimg="1"/>
所以 為單調遞增，上界為 的子串行，故該子串行存在極限，且有令其極限為 ，對兩側取極限有
因為每一項均大於零，所以 。
同理不難得出 每一項均大於 ，單調遞減，且極限為 。
由於 的極限均為 ，故 。
4" eeimg="1"/>，同理可證 。
綜上， 。
3樓：Melin xia
這種形式的遞推可以用「不動點」方法來求通項：
設數列某一項 代入後下一項也是 （稱為不動點） .
於是 就是乙個等比數列.
公比可以隨便代數字計算出，.
因為公比是 ，所以等比數列趨向於0，所以 趨向於4.
不過這題可以不用求出通項公式，因為數列收斂，所以極限就是「不動點」，因為首項大於0，所以是趨向於4而不是-1.
然後證明這個數列離4越來越近就行了. 可以把遞推化為 來證明，也可以用數學歸納法.
如何求這個數列問題的通項公式？
這題的證明方法我覺得多少都有點先猜後證的意思，我來簡介一下思路首先呢，這題原題是第18屆IMO的題，不過原題說實話比這簡單得多，原題是這樣的 已知 證明 原題顯然簡單得多，已知答案的話，直接數學歸納法就行我們來看看怎麼不用數學歸納法 對於數列 我們設乙個數列 它滿足 很顯然，我們可以得到 以及 這裡...
如何判斷乙個數列是否能夠得到初等的通項公式？
高票答案是有問題的 實際上只有當 且 時，變成這樣的形式 其中 為常數 才能用對應函式的不動點來求解，具體證明過程可見 怎麼用特徵根法和不動點法求數列的通項公式?或者通過平移變換能變成這個形式的遞推數列也可行包括特徵方程法在內的中學階段常見的一些遞推數列通項公式的求法可以見 常見數列通項公式求法總結...
如何求解這個線性遞推數列的通項
形瞳 首先當 時這是乙個全是1的常數列，結論成立 當 時觀察數列的遞推公式發現 時是 關於其前面 項的線性遞推，可以用線代方法求解 有其特徵方程有 由代數基本定理可知其在複數域有 個根 設 則其導數為 容易發現 是 的根但不是 的根 設 有假如存在 使得 則 有但顯然於是 沒有相同的根 故 沒有重根...