1樓：
你既然說到「特徵方程」，那你應該是要求具有週期性的常係數齊次線性遞推數列
考慮遞推數列：
其中 ， 是常數，
這是乙個k階常係數齊次線性遞推數列
我們把叫做遞推數列
的特徵方程，而它的 個根 （可能有重根）叫做該遞推數列的特徵根
這裡的特徵方程
它實質上是矩陣 的特徵多項式
如果 兩兩互不相等（無重根）的情況下
可以證明，對任意的常數
的線性組合
是遞推數列 的解
它的通項公式的推導過程詳見：
斐波那契數列通項推導過程中憑什麼定理斷定它能寫成兩個等比數列的和？
這種數列什麼情況下是週期數列？
答案是簡單的：
首先，特徵根 就不能有重根，不然通解會出現多項式 這一項，這種無論如何都不可能是週期數列
（可以由多項式函式的根數總是等於次數，因此不可能有無數根解釋）
在 互不相等時
若存在 個正整數 （ ）
使得 （ ）
也即所有特徵根都是1的正整數次方根的時候
此時，數列 （ ）便是週期數列
而最小正週期
另一種常見的可以成週期數列的，是分式線性遞推數列
遞推數列：
其中 ， 為實常數， ，
這種就叫做分式線性遞推數列
這個數列的極限是方程 的乙個根
這個方程的根實際上也就是函式 的不動點
一）假設方程 有兩個不等的根
則有也即
（ ）二）假設方程 有重根
則有 其中
易得 詳細推導過程可見我這個回答：
為何可以用不動點法求數列通項公式，可不可以解釋一下？
那麼這一類數列什麼時候成週期數列？
首先你得排除方程 有重根的情況
除非數列 的初值就在不動點 上，構成常數列
否則此時數列 構成公差非零的等差數列，無論如何都不可能是週期數列
所以數列 也不可能是週期數列
對於方程 有兩個不等的根 的情況
實際上，數列 與數列 必然是同時構成週期數列（它們之間存在可逆的變換）
而要數列 成週期數列，只有乙個辦法，那就是
存在 ，使得
那麼這又可以分三種情況：
1） 此時數列 的初值就在不動點上，所以是個常數列，週期為1
2） 此時的要求是
可以推出，
3）當 與 是一對共軛虛根時
此時要求 是1的 次方根
也即（ ）
注意，這些週期數列，往往都與那種公比是1的T次方根的等比數列有關
2樓：靈劍
線性齊次遞推僅當特徵方程有特徵根滿足x^k=1（k是任意整數）時有週期解，注意這裡的根是複數。這要求它首先模為1，其次至少要是個代數數，第三幅角與2π的比例是個有理數。僅僅模為1是不夠的，比如x^2-(1/π)x+1=0的根，不是代數數，因此也沒有週期存在；再比如x^2-(1/2)x+1=0，根雖然是代數數，但幅角不滿足條件，也沒有週期性。
對於遞推中的係數都是有理數的情況，設最高次數為n，那麼可以嘗試exp(i 2π/k)，其中k=1,2,...,n，如果都不是，那應該就沒有週期解了。
最後，有週期解不代表實際的數列就有週期，還需要考慮初值和其他特徵值的影響。如果有非週期的特徵解（即有不滿足條件的特徵根），則解會分為週期和非週期兩部分，只有非週期解的係數恰好為0時有週期性；如果所有特徵解都是週期性的，但週期不同，則實際的最小正週期可能是其中的乙個或多個的最大公約數。
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