1樓：mcxzx
雖然已經有人回答地很完美了，但是畢竟打了草稿，那我也就寫完發出來了吧
首先約定符號：該文章採用抽象指標(拉丁字母)與具體指標，求和約定，具體指標中希臘字母取1,2,3，大寫希臘字母取1,2,3,4，希臘字母加bar取1,2。本文將使用億些整體微分幾何的東西。
而任何二次曲面都可以寫成形式：
其中 為一堆常數。我們可以對 做一些係數的處理並可寫成乙個對稱(0,2)型張量分量：
， ，令 ，其中 ，那麼原二次方程可以寫為：
由於後面我們需要對該張量進行3+1分解，因此我們現在還要引入一些其它的東西：
， ，於是 ，原方程可以（繞了一大圈）寫成：
繞這麼一大圈其實就是為了發散提示一下二次曲面其實對應的是射影空間裡的乙個張量，不過這個與該題目關係並不算大，所以最後還是要落實到三維。
眾所周知，求(光滑)曲面隱函式梯度就是求該曲面的（非單位）法（餘）矢
於是我們也可以這麼幹：
(前排提示 ，且這裡能寫 只是因為平直空間有矢徑這個東西，否則必須乖乖寫 )
現在我們想把它歸一化，於是我們求其長度：
然後 ，單位法矢就出來了。
有了單位法矢，我們就相當於知道了(光滑)隱式曲面的所有東西，而且也不會多得到什麼冗餘資訊（除了定向）。而有了它，我們相當於就有了和曲面引數式同等的東西。
首先是曲面第一形式（度規）：
以及曲面第二形式：
其中 同時是投影對映，以後將用 代表將張量T的所有指標與投影對映縮並的結果，稱之為(張量的)投影對映。
一般我們接觸的靠引數式 定義的曲面第二形式是 ，其中 代表引數式給出的曲面基矢 。這種定義在平直空間和上述形式是等價的（讀者可試證）。而上述定義則更容易推廣到任意微分流形上，而且無需給出引數式。
【命題1】超曲面上某點在某個方向的曲率為該方向單位矢 與第二形式的縮並： (證明過程中普通希臘字母取0到超曲面流形維數，bar希臘字母取1到超曲面維數)
繼續借助引數式來輔助證明：由於 ，其中 為標量場。(注意 )
那麼 ，有咩有感覺很像聯絡的定義式？如果我們此時選乙個區域性覆蓋該超曲面的乙個座標系，並使其在超曲面上和 相同，在超曲面上的非超曲面方向座標基矢(為第0座標基矢)就取該曲面單位法矢，那麼可用該座標系聯絡表出第二形式：
而根據誘導超曲面度規適配導數算符的知識， ， ，可以得出曲面引數式座標系對應的超曲面限制的聯絡 ， 。我們以 代表之前選好的母流形座標系適配導數算符，它的超曲面誘導仍然是它自身（不難證明）。
對於超曲面，由於曲率的區域性性，我們可以選擇超曲面上以線長為引數的測地線來作為曲線在某點的方向曲率計算的媒介（測地線與剖切平面與超曲面的交線是區域性完全相同的）。以 代表曲線切矢，那麼 ，而以線長為引數的曲線的曲率向量就是其曲線二階導向量，所以我們可得曲率向量表示式： ，根據測地線約束，我們可以簡化：
（ 下指標都與超曲面上向量縮並相當於已做限制，因此只需對上指標做投影限制）
而由於 ，於是
因此可算出曲率：
命題1 Q.E.D.
【命題2】有限維對稱矩陣的特徵向量集合中存在正交歸一基。
（此定理在無限維下可靠譜定理證明，此處只需有限維當然可以也通過譜定理預設。不過也可以使用正交歸一基底下求分量通過特徵向量的性質得出，此處不再證明，可留作習題）
【命題3】超曲面(不帶絕對值的)方向曲率( )極值(主曲率)對應於曲面第二形式對應(1,1)型張量 的矩陣特徵值
我們可以寫出(不帶絕對值)方向曲率的極值方程： ，其中 代表 的歸一化向量，此處我們不限制 的模，否則表示式可能更麻煩。
除去繁雜的計算，最後可以得到結果： ，再化簡一下，即 ，而 剛好就是把 投影到 的正交補空間的對映。也就是說，要想滿足方程， 這個向量必須在 (向量T張成的子空間中)，表明 ，使得 ，因此滿足條件的 就是 的特徵向量， 就是該特徵值。
那麼此時： ，不帶絕對值曲率就是其特徵值，並且該命題是充要雙向的(極值條件充要於上述方程，上述方程解充要於特徵向量，因此該證明過程全程充要)。命題3 Q.E.D.
【命題4】矩陣 全體特徵值的和為其跡 ，矩陣 全體特徵值的積為其行列式
首先，我們知道矩陣特徵值與矩陣的特徵多項式根有良好一一對應的關係：
根據多項式韋達定理，該多項式(令n為其次數)全體解的和為該多項式的 項係數(可能再添符號)，根據行列式的單行/單列可加性（證明詳見該回答）
兩個行列式能否相加？
可輕易分離出所有出現 的部分，最後可得其係數就為該矩陣的跡的 倍。
還是韋達定理，多項式全體解的積為該多項式的常數項，仍然可根據行列式單行/單列可加性分離出所有絕不含 的部分，也即 。
命題4 Q.E.D.
命題證夠了，我們回到題目：
根據定義， ，我們以已知條件再來展開：
注意到 ，
（這裡做了乙個長度伸縮，不改變實質： ， ）
我們現在就可以死算出其梯度：
， 於是
由於 是超曲面上的張量（與法矢縮並任意指標為0），因此我們必須以超曲面的標準來衡量它的跡與行列式，否則將不會有正確結果。
於是我們得知兩個主曲率 的乘積為 （其中 是超曲面適配體元， 代表以超曲面衡量的行列式），和為
由於體元是全反稱的，因此適配體元乘法矢相當於乘了法矢的並矢（對稱）因而為0。我們因此可以略去 所有含 的地方，最終展開得到： （但是要把 限制到 上還需投影）
不過我們可以進一步簡化：
注意到其中 ，根據伴隨矩陣的性質（ ），我們不難看出它就是矩陣 在母流形自身上的伴隨矩陣 ，於是我們就可以寫成： ，最後算出
求跡我不用多說， 簡寫為 ，算出來為：
於是我們可以構造二次方程：
然後求解（廢話），得
這就是全部計算內容了：
按定義寫出 與 ，按上述式子算出 ， 與 ，代入上述解即可得出主曲率 與
完結撒花
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