1樓：予一人
這裡我給出一種比較自然的Catalan序列生成函式的求法。
首先，我們將Catalan序列定義為
其中，我們約定 於是
由Newton二項式定理和組合恒等式，可以得到於是即為所求者。
2樓：Alexander Tang
CLRS chap 12 problem 12-4也有類似的一道題,其實n個節點二叉樹個數也就是nth卡特蘭數
Let denote the number of different binary trees with n nodes. In this problem, you will find a formula for , as well as an asymptotic estimate.
具體題目就不貼了,大概思路如下:
注意到令 由 性質可得
解得 如果對 進行二項式展開或者泰勒展開,得到的都是最高贊的答案,也就是因此
3樓：靈劍
暴力拆一波試試
C(n) = 2C(n-1)(2n-1)/(n+1) = 4C(n-1) - 6C(n-1)/(n+1)
對n> 0成立
也就是(x(4xc(x) - c(x) + 1))' = 6xc(x)
(8x - 1)c(x) + (4x^2 - x)c'(x) + 1 = 6xc(x)
(4x ^2 -x)c'(x) = (1-2x)c(x) - 1
這個微分方程有個非齊次項，可以拆成通解 + 特解的形式。先求解沒有非齊次項的通解：
分離變數
(ln c(x))' = -(1-2x)/x(1-4x)
右邊拆開成一次分式的和：
-1/x - 2/(1-4x)
積分得到
ln c(x) = -ln x + 1/2 ln (1-4x) +C1
也就是c(x) = C2 √(1-4x)/x
接下來湊乙個特解，根據形式可以嘗試A/x，得到
-A(4x^2-x) = A(1-2x)x - x^2
-2Ax^2 = -x^2
A=1/2
所以c(x) = 1/2x + C2 √(1-4x)/x
根據c(0) = 1，求這個式子在0處的極限，可以得到C2= -1/2
所以c(x) = (1-√(1-4x))/2x
如果湊特解這一步不是那麼令人信服，也可以試試常數變易法，將C2視為函式帶回非齊次方程：
C2' = (1-4x)^(-3/2)
C2 = (1-4x)^(-1/2)/2 +C3
帶回可以得到相同的特解形式
這說明，只要微分方程熟練，並沒有什麼解決不了的母函式（並不，算死我了）
PS. 啥時候手機才能發公式啊
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