1樓：予一人
當前的問題是要證明
定義1稱為區間 的凸函式，當且僅當 都有
與定義2稱為區間 的凸函式，當且僅當 以及 都有
在 連續的前提下等價，這就要求，在連續的前提下
證明定義2定義1
這是顯然的。只要在定義2中命 即證；同時
證明定義1定義2
這需要花費一點力氣，我們分三步走。
第一步，證明定義1中的不等式可以推廣到多元，即
定義3稱為區間 的凸函式，當且僅當 都有
這證明可簡單利用數學歸納法，請讀者自證，此處從略。
第二步，證明定義3可以推出定義2在 為有理數時的版本。為此，設 有
得證。第三步，證明定義3可以推出定義2在 為無理數時的版本。此時，由於為無理數，則必可求得收斂於 的有理序列 [1]於是依 的連續性[2]，有
得證。綜合上述第二步、第三步的結論，即知定義3可以推出定義2，於是得證。
最後附帶說一句，事實上，可以證明
定理1按定義2定義的凸函式[3]在區間內點處處連續。[4]
定理2按定義1定義的凸函式[5]不一定連續，但至多只有第一類間斷點。
如何證明開區間的凸函式一定連續？
芋圓公式 開區間 上凸函式的原始定義 1 是對任意 成立 其中不等號的方向並不重要。取 令 經過適當地整理得到凸函式的另兩個等價定義 令 於是 定義函式 凸函式的第乙個等價定義表明 故它是單調函式，且根據第二個等價定義可知存在下界，比如 因此極限 存在，即右導數存在 2 同理左導數也存在。左 右導數...
凹凸性定義需要函式可導嗎？
貓頭鷹green 數學分析 中，凹凸性定義，連續也不需要，當然根據定義本身能證明在區間內部每個點都連續。另外要注意，不同教材有時凹凸定義剛好相反。就像有些國家左側通行一樣。 胡不一 定義什麼是凸函式和在什麼情況下函式是凸函式是不同的，前者必須是充要的，後者只是充分的。比如，樓上貼的維基百科的定理，都...
定義域上連續且可導的函式，其導函式一定連續嗎？
黎弗曼 連續且可導的函式，其導函式不一定連續，因為可導函式的導函式也可能含有振盪間斷點。比如下面這個常見的函式 1 eeimg 1 1 eeimg 1 可以看出，當n 2時，f x 的導函式f x 是連續的 當1可見，雖然大多數 可導函式 的導函式是 連續函式 但有些特殊的函式，比如某些原本含有振盪...