如何證明開區間的凸函式一定連續？

1樓：芋圓公式

開區間上凸函式的原始定義[1]是對任意，，成立，其中不等號的方向並不重要。取，令，，，經過適當地整理得到凸函式的另兩個等價定義。

令，，於是。定義函式，凸函式的第乙個等價定義表明，故它是單調函式，且根據第二個等價定義可知存在下界，比如。因此極限存在，即右導數存在[2]。同理左導數也存在。

左、右導數的存在性直接給出連續性[3]，例如。於是。

2樓：阿昇

念經濟學碩博真的太忙了，好久沒正經答知乎了，來答一波，哈哈。

已經有大佬po了乙個謝惠民那本數分習題集的乙個直觀證明，我再給一種吧，我這種證法比較笨，笨的唯一好處就是幫樓主多複習點數分前面序列部分的知識點。

這是乙個挺經典的問題，好多數學分析的教材都把這道題作為習題，包括我非常喜歡的Baby Rudin 也是把這道題列作習題。先上我的證明，證明分為兩個步驟：

第一步：證明在這個開區間內部的任意閉區間上，凸函式必為有界函式；

第二步：利用第一步的結論，說明凸函式在這個開區間上連續。

我個人認為在已知第一步結論的情況下去想第二步是相對容易的：即 0 ,\ \ \ s.t.

\ \ \forall x\in \left( a,b \right) ," eeimg="1"/>，證明連續。需要用到這樣一件事實，對於開區間中任意一點，都可以以為中心做乙個閉區間完全落在開區間中，因為首先以點為中心，必然 0，s.tc-\epsilon,c+\epsilon)\subseteq(a,b)" eeimg="1"/>，則，當然這裡還沒結束，還要圍繞著再取乙個小的開區間

（至於為什麼要這麼做，是要為了利用凸函式給我們提供的唯一的性質—— ）

看個圖可能更清楚：

大中午的，餓了，我手畫乙個將就一下

其實接下來就是在閉區間的邊界那裡取點，然後取，必有 1" eeimg="1"/>，簡單變形得，這就是區間套來套去的原因，其實是為了配湊，來使用凸函式所提供的不等式。根據為凸函式，則有

這個時候距離成功很接近了，回顧一下上面的圖形， \frac\cdot \frac" eeimg="1"/>，這個式子顯然是因為肯定比大，那麼馬上可以得到，注意這裡得只和區間中心有關，我們的是任意的，因此代入上面由凸函式得到的性質，有，同理只要我們取的是，就會得到，綜合起來，就是比一般意義連續更強的Lipschitz 連續了：

，畢竟是個有限常數，如果不了解Lipschitz 連續，也可以直接從極限的角度去說明連續，由於的任意性，所以就完成了第二步的證明，在有界的前提下說明了凸函式必然連續。

那麼這個證明唯一需要補齊的就是我們上面用的是否存在。我認為這裡的證明的難點是上界和下界的處理方式不太一樣。

下面我們證明第一步：凸函式在定義域內的任意閉區間上必有界。

選閉區間就是因為閉區間內的所有點，一定可以表示為兩個端點的加權，即，則，有定義的情況下自然說明就是有限數了，也就是線段上的凸函式上界只取決於兩個端點的函式值。那麼下界的麻煩之處在於凸函式提供的不等方向是反過來的。我在這裡給一種反證說明有下界的思路，就是複習一下Bolzona-Weistrass 列緊性原理：

在任意閉區間中，

現在反證，假設無下界，則存在，那麼這個又必存在乙個收斂子列，收斂到點，根據收斂的定義我們知道，必然 0, \exists i_0\in Ns.t. \ i>i_0,x_ \in (x_0-\epsilon,x_0+\epsilon)" eeimg="1"/>，即 .

下面還是為了利用凸函式的不等式，做乙個配湊，再利用，使用凸函式的基本性質：

接下來就是找矛盾，乙個非常明顯的矛盾是左邊是個有限數，而右邊的在我們的反設下，會往負無窮跑，當然如果跑到正無窮去還是有機會的呀，不過我們前面說明的有上界就用的上了，這也是為啥要配來配去，因為，所以有上界，不會跑到正無窮，該式產生矛盾，所以假設錯誤，有下界，最終說明了凸函式在任意閉區間有界。

我之所以對這個囉嗦的證明(相比其他版本）情有獨鍾，其實是因為我沒認真讀過數學分析，當年在本科學校蹭數學系課的時候經常摸魚，後來我選了一門數學系凸分析課不得不認真學了，那個老師上來就講了多元的情況，這個證明就是從多元情形直接改過來了，多元的情況更有意思是，你需要把閉區間改成緊緻集，並且要把有界性先在方格裡操作一遍，再對凸區域上的任意緊緻集使用有限覆蓋定理，才能說明上界存在，不過本質一樣。

其實這個證明還可以引發一層思考就是什麼時候有界性會和連續等價，不贅述了

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