連續函式f x ，在區間 a,b 有f a f b ，如何證明f x 一定存在遞增區間？

1樓：高天鉀

我聽古人說，有乙個叫牛頓的聖人，他認為連續函式除了可數點外沒有不是可導的。後來有名叫柯西和拉格朗日的聖人也是這麼認為的。然而，再後來又出現了一位名叫魏爾斯特拉斯的聖人，他發現先前牛頓等聖人的結論是錯誤的。

他提出了魏爾斯特拉斯來反駁這一點。魏爾斯特拉斯函式是一種在實數集上沒有乙個地方不是連續的函式，卻沒有任何乙個地方可導。它的解析式是像下面這一張圖一樣的。

函式可以沒有地方可導，卻依然連續，有大小不同的值卻沒有單調區間。這難道不值得我們警醒嗎？即使是古時的聖人，他們的，慧超過我們很多，也是會有犯錯的時候的，更何況你我的智慧型不如他們，這不也值得我們反思嗎？

我寫下這篇回答，用來告誡後世的人。

2樓：巫奇

先說結論，無法證明，因為這個命題不正確。

我嘗試證明這樣的結論。

想證明這樣的數學命題，一定要把題目寫成精確的數學語言。

設有函式f，f在區間[a,b]上連續，且f(a)接下來，我們要把「f(x)一定存在遞增區間」寫成數學語言。即，一定存在a1, b1(a<=a1=0（注意文字寫的是遞增不是嚴格遞增）。

我們在這裡使用乙個Lagrange中值定理。

Lagrange 中值定理.設f在[a,b]上連續，在(a,b)上可導，則存在乙個c∈(a,b)，使得

f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a).

在我們這個命題中，由於f(b)>f(a)，b>a，所以存在一點c，f'(c)>0。（不是）

為什麼我說不是，因為題主沒有給出f在(a,b)上可導這一條件。

再假設我們加上了這個條件，是不是命題就證明出來了呢？（沒有）

我們自然而然地想，如果某點的導數大於0，那是不是它的近旁，也就是c點的某個鄰域的導數都是大於0的呢？

我們還差乙個條件，那就是不僅f在區間(a,b)上要可導，f'還要連續。這樣用函式連續的定義，就能保證在c點的某個鄰域上f'(x)>=0了。

總結：我們需要補充兩個條件，（1）f在(a,b)上可導；（2）f'在(a,b)上連續。才能證明題主的命題。

回答答到這裡回答了一半。

我剛才是說加了兩個條件，可以推導出「f(x)一定存在遞增區間」，說明加上條件以後是充分條件（思考一下，充分條件可不可以減弱為有限個或者可數個點上不可導），沒說是必要條件，也沒有證明不加條件就無法證明該命題。

在我回答問題的期間，有其他答主說了，存在處處連續但是處處不可導的函式。把「f(x)一定存在遞增區間」寫成數學語言是「當x∈(a1,b1)時，f'(x)>=0」，如果連導數都不存在，哪來的f'(x)>=0。

其實到這裡，問題就回答完了。我再對「處處連續但是處處不可導的函式」說兩句。

f在某點可導，一定在該點連續。

f在某點連續，卻不一定在該點可導。

我們可以想到那個耳熟能詳的例子f(x)=|x|，f在x=0處連續，但不可導。

我們也很容易就能構造出有可數個連續但不可導的點的函式，比如，把f(x)=|x|,x∈[-1,1]以週期為2向左右兩邊反覆拓展。

在數學分析的發展歷史上，19世紀的上半葉，數學家們普遍認為：連續函式在其定義區間中，至多除去可列個點外都是可導的。也就是說，連續函式的不可導點至多是可列集。

他們不能想象處處連續，處處不可微的函式存在。

直到2023年，Weierstrass（魏爾斯特拉斯）首先構造出具有上述性質的函式，也就是Weierstrass函式，這個函式是用無窮級數來表達的。

1.我在答案裡給出了乙個充分條件，那有沒有充要條件；

2.由f(x)可導，想到Darboux(達步)定理；由f'(x)連續，想到介值定理。能不能設計出什麼有趣的充分條件。

11.16日晚新增

3樓：計算機與數學

反證法，假設f(x)在[a,b]閉區間內不存在遞增子區間，則任意的子區間內f(x)都是遞減函式，從而[a,b]區間內，f(x)是單調遞減函式，這與條件f(a)