1樓：非平凡的理想
瀉藥如果f在閉區間[a,b]上連續，那麼肯定在(a,b)上有一系列性質，這都是繼承自閉區間的性質。我們可以把所有的在開區間連續，有界，有介值性的函式都看成這樣乙個模子：先看閉區間是不是成立，然後去掉端點。
所以我們知道假設f在[a,b]上有性質P(f)，那麼在(a,b)上也有性質P(f)。
但是，如果f在(a,b)上有性質P(f)，可不見得在[a,b]上有性質P(f)，比如(0,1)，1/x這玩意兒。
However，這告訴我們，其實我們可以考慮乙個"取內部"的操作（你可以把開區間看成閉區間的內部），它保持函式的性質；但是另一方面"取閉包"（即開區間擴充為閉區間）的操作不一定保持性質，特別依賴於函式在邊界（對於區間而言就是兩個端點）附近的性質。為什麼呢？(*σ`)σ，因為你取內部，沒有增加新的點，取閉包需要增加新的點，新的點處函式的性質不一定會很好（甚至可能沒法定義！
）。上面的開區間和閉區間換成開集和閉集一樣成立。所以我們一般希望f在閉區間上成立某些性質。
閉區間上的連續函式構成了乙個向量空間。它的乙個基長什麼樣？
aleph 首先需要指出的是無限維的Banach空間不存在可數Hamel基，這個結果可以由Barie category theorem得到。對於連續函式空間而言，多項式函式構成了其的乙個稠密子集，但不能由多項式函式得到該空間的乙個Schauder基，它的一組Schauder基需要由另外的方式得到。如...
連續函式在緊集和閉集上都有界嗎？
fduxiao 連續函式將緊集對映到緊集，如果要說 界 的問題，姑且認為codomain是度量空間，那麼緊集當且僅當complete Cauchy數列收斂 且totally bounded finite epsilon net存在 則顯然bounded.實數軸是閉的，identity函式無界所以閉集...
閉區間上的單調函式也可以有無限個不連續點，為什麼閉區間上單調函式一定可積，不連續點無限的函式就不可積？
命題1閉區間上的單調函式最多有可數無窮個不連續點,也就是可列間斷點.證明思路是,利用單調函式在每個間斷點左右函式極限不等的特性,劃出函式間斷區間,這些間斷區間與函式值域最多有乙個交點,從每個間斷區間中,選取乙個有理數,那麼所有的間斷區間就和有理數集建立最多一一對應的關係,也就是可列關係.命題2,閉區...