1樓：
命題1閉區間上的單調函式最多有可數無窮個不連續點,也就是可列間斷點.
證明思路是,利用單調函式在每個間斷點左右函式極限不等的特性,劃出函式間斷區間,這些間斷區間與函式值域最多有乙個交點,從每個間斷區間中,選取乙個有理數,那麼所有的間斷區間就和有理數集建立最多一一對應的關係,也就是可列關係.
命題2,閉區間上單調函式一定黎曼可積,
這和命題1是聯絡的,本質也是因為黎曼可積的充要條件是函式有界,且幾乎處處連續,這叫勒貝格定理.
什麼是幾乎處處連續,也就是間斷點的數量是可列多個的,用測度語言說,就是間斷點集的測度為0
正好,單調函式在閉區間上既是有界的,又是可列間斷的,所以單調函式是可積的.
怎麼理解這個測度為0,就是用於覆蓋他們的開覆蓋集區間長度總和可以任意小,
同時間斷點集對應的函式值也是有限的,所以他們在乙個子區間上的振幅也是有限的,
所以在間斷點集上做子區間振幅乘以子區間長,並將劃分長度趨向0,求和得到的振幅面積是任意小的.
再加上函式在連續點集做出的振幅面積也是任意小的.
於是就得到該函式的振幅面積任意小,也就滿足了可積的第一充要條件.
勒貝格定理的證明思路
2樓：
間斷點零測時黎曼可積(對於歐氏空間上有界閉區間上有界函式)，這個定理(lebeshue's integrability criterion，有個名字方便各位自行搜尋學習)其實就是數學分析範圍內的定理，只不過很多教材要補充測度知識。
測度相關知識應該在數分中多元微積分會涉及(邊界的測度0(由有界性即得容度0)才可積之類的…) 然後加上一些歐氏空間中集合性質、有界覆蓋定理…至少看證明是無障礙的。當然在一元微積分裡引入也是可行的，我的數分老師就是講完黎曼積分馬上講了cantor集，講了測度容度…這個學習順序也可以參考。
回到具體問題上，閉區間上單調函式可積怎麼用這個準則。有理數集有兩個很好的性質：零測(由可數性易證)、稠密，考慮該單調函式的值域，再由嚴格單調函式定義域到值域是個單射(具體來說，值域有界，每個跳躍間斷點對應乙個躍度區間，由稠密性每個區間裡必定有乙個有理數，即區間數比有理數「少」)…即得間斷點零測，由勒貝格準則即得證。
3樓：
不連續點無限的函式不可積。
這一命題是錯的，只要間斷點是零測集就黎曼可積，建議題主換本教材看看，比如中科大的《數學分析教程》，裡面有較為詳細的論述。再進一步的了解，就是實分析中的內容了。
請問閉區間上的單調可微函式一定是絕對連續函式嗎？
結論是肯定的。不妨設f x 在 a,b 上單調增，只要證明f x f a f x 從a到x積分，對任意a x b成立。由周民強 實變函式論 第三版 P206定理5.2給出，由該書P237推論5.20給出，證畢。雖然什麼也沒證，但至少告訴了提問者應該在哪找到答案 笑 欲仙 1 不一定,若x在這個閉區間...
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非平凡的理想 瀉藥如果f在閉區間 a,b 上連續，那麼肯定在 a,b 上有一系列性質，這都是繼承自閉區間的性質。我們可以把所有的在開區間連續，有界，有介值性的函式都看成這樣乙個模子 先看閉區間是不是成立，然後去掉端點。所以我們知道假設f在 a,b 上有性質P f 那麼在 a,b 上也有性質P f 但...
閉區間上的連續函式構成了乙個向量空間。它的乙個基長什麼樣？
aleph 首先需要指出的是無限維的Banach空間不存在可數Hamel基，這個結果可以由Barie category theorem得到。對於連續函式空間而言，多項式函式構成了其的乙個稠密子集，但不能由多項式函式得到該空間的乙個Schauder基，它的一組Schauder基需要由另外的方式得到。如...