1樓：楊樹森
課本上解決這個問題的方法是引入單側連續，但是我認為這種處理太醜陋了，不能解決更複雜的數集上的連續性，也無法推廣到高維。
正因為有類似這樣的問題，我主張在一開始學數集時就使用拓撲的觀點敘述，而不是一切描述都依賴著區間。雖然拓撲概念非常抽象，但是如果結合著具體的例子，並沒有想象得那麼難。
以下不引入過多的抽象概念，也不介紹過多的結論，但是假設讀者具備集合論的初步知識，直到可數集概念，並了解實數集的嚴格定義。
開區間是很容易定義和理解的。我們將空集、實數集或至多可數個開區間的並集定義為開集，將開集的補集定義為閉集。例如，在實數集裡去掉所有的整數，得到的數集
這就是乙個開集。這個集合的補集當然就是整數集，所以整數集是乙個閉集。顯然，開區間都是開集，閉區間都是閉集。可以證明，兩個開集的交集是開集，任意個開集的並集是開集。
對於 和含有 的開集 稱包含 的數集為 的鄰域，稱 是 的鄰域的內點。對於數集 和 稱 是 的聚點，是指 的一切鄰域都與 相交。例如，區間 的全體聚點是 區間 的全體內點是
接下來，假設讀者了解數列極限的概念。可以證明，實數 是數集 的聚點的充要條件是存在各項都屬於 且收斂於 的數列。
設 是數集 上的函式，取 的聚點 則稱 在 處收斂於 是指對於任意各項都屬於 且收斂於 的數列 成立 當 時，稱 在 處連續，是指 在 處收斂於 稱 連續，是指對於任意 在 處連續。
按此定義，開區間上函式的連續性與原來不變，而閉區間上函式的連續性自然成為內部的連續性加上邊界的單側連續性，不必特殊說明。對於原來必須考察單側連續的情形，也可以敘述為函式限制在某一數集上的連續性，並非無法敘述。
而在高維情形，閉區間變成了有界閉區域，此時函式在邊界的連續性要比一維情形複雜得多。但是採用類似剛才的方法，可以簡單且完全地解決問題。
閉區間上的單調函式也可以有無限個不連續點，為什麼閉區間上單調函式一定可積，不連續點無限的函式就不可積？
命題1閉區間上的單調函式最多有可數無窮個不連續點,也就是可列間斷點.證明思路是,利用單調函式在每個間斷點左右函式極限不等的特性,劃出函式間斷區間,這些間斷區間與函式值域最多有乙個交點,從每個間斷區間中,選取乙個有理數,那麼所有的間斷區間就和有理數集建立最多一一對應的關係,也就是可列關係.命題2,閉區...
連續函式為什麼考慮的是閉區間上的性質，而不去考慮開區間上的性質，或者說可以延拓到開區間上？
非平凡的理想 瀉藥如果f在閉區間 a,b 上連續，那麼肯定在 a,b 上有一系列性質，這都是繼承自閉區間的性質。我們可以把所有的在開區間連續，有界，有介值性的函式都看成這樣乙個模子 先看閉區間是不是成立，然後去掉端點。所以我們知道假設f在 a,b 上有性質P f 那麼在 a,b 上也有性質P f 但...
請問閉區間上的單調可微函式一定是絕對連續函式嗎？
結論是肯定的。不妨設f x 在 a,b 上單調增，只要證明f x f a f x 從a到x積分，對任意a x b成立。由周民強 實變函式論 第三版 P206定理5.2給出，由該書P237推論5.20給出，證畢。雖然什麼也沒證，但至少告訴了提問者應該在哪找到答案 笑 欲仙 1 不一定,若x在這個閉區間...