1樓：三國殺國戰愛好者
定義域內一致連續的函式可以連續延拓到定義域的閉包上，所以定義域有界的無界函式一定不是一致連續函式(否則與緊集上的連續函式有界矛盾),定義域無界的無界連續函式不一定是一致連續函式(參考一次函式和二次函式)。
2樓：法國球
題目的推斷是正確的。
開區間上的無界連續函式，一定不是一致連續的。
證明：設f(x)在開區間(a,b)無界，不妨設它無上界，那麼存在(a,b)中的點列xn，以及充分大的實數A，使得f(xn)=n+A。由於xn這個數列是有界的，因此它有聚點(事實上它的聚點只能是a或者b，不過這不影響後面的證明)。
對任意的delta>0，都存在兩個不同的正整數n和m，使得|xn-xm| 3樓：三川啦啦啦 它不一致連續。 但閉區間上連續函式一定一致連續，這兩個情況完全不同。 開區間上的無界連續函式一定非一致連續嗎？也就是說，存在開區間上的一致連續的函式嗎？ 分兩種情況，在有限開區間和無限開區間。 在無限開區間上 這是一致連續函式。 證：x，x∈( 1, +∞ ) 於是 g(x) 在( 1, +∞ ) Lipschitz 連續，必一致連續。 在有限開區間上 這種情況是不可能一致連續的。 證：假設 h(x) 是 ( a, b )上的無界連續函式，我們知道 h 必然在邊界無界，在其餘的地方有界，否則不連續，矛盾。我們不妨設 h(a) = +∞，於是存在兩個趨於 a 的點列，當n充分大時有： 這兩個點列存在可由函式的介值性保證。故 h(x) 非一致連續。 一致連續比較形象的理解是： 對於曲線上任意一點，存在一段「管子」（如上圖）。隨著點在曲線上的移動，管子也跟著移動，但要保證水平。如果管子可以不接觸到曲線，完美走過所有點，則函式被稱為一致連續。 生活中有類似的遊戲，就是用乙個小環套在鐵絲曲線上，參與者要將小環從起點移至終點，全程不能觸碰曲線，否則會引起警報。只不過，這種遊戲不會限制小環調整角度，但「一致連續遊戲」難度有點大——不允許調整角度。 如果不存在這樣一根管子，那函式非一致連續。 芋圓公式 開區間 上凸函式的原始定義 1 是對任意 成立 其中不等號的方向並不重要。取 令 經過適當地整理得到凸函式的另兩個等價定義 令 於是 定義函式 凸函式的第乙個等價定義表明 故它是單調函式，且根據第二個等價定義可知存在下界，比如 因此極限 存在，即右導數存在 2 同理左導數也存在。左 右導數... 非平凡的理想 瀉藥如果f在閉區間 a,b 上連續，那麼肯定在 a,b 上有一系列性質，這都是繼承自閉區間的性質。我們可以把所有的在開區間連續，有界，有介值性的函式都看成這樣乙個模子 先看閉區間是不是成立，然後去掉端點。所以我們知道假設f在 a,b 上有性質P f 那麼在 a,b 上也有性質P f 但... aleph 首先需要指出的是無限維的Banach空間不存在可數Hamel基，這個結果可以由Barie category theorem得到。對於連續函式空間而言，多項式函式構成了其的乙個稠密子集，但不能由多項式函式得到該空間的乙個Schauder基，它的一組Schauder基需要由另外的方式得到。如...如何證明開區間的凸函式一定連續？
連續函式為什麼考慮的是閉區間上的性質，而不去考慮開區間上的性質，或者說可以延拓到開區間上？
閉區間上的連續函式構成了乙個向量空間。它的乙個基長什麼樣？